Tag: Contributi personali

Post relativi a considerazioni o studi personali.

Il teorema di Dedekind: una mia bozza di dimostrazione

Una bozza scritta in italiano dimostra l’esistenza e l’unicità di un elemento che separa due insiemi non vuoti che rappresentano il campo dei numeri reali.
Questo ci permette di dimostrare che i numeri reali sono uno spazio completo (ovvero che ogni successione di Cauchy è convergente).
Nota: nel caso dei numeri irrazionali anziché dei numeri razionali, non funziona perché non sono completi, ovvero non è possibile definire un elemento che sia un estremo.
In parole povere, si potrebbe dire che se i numeri razionali vengono rimossi dai numeri reali per ottenere numeri irrazionali, allora rimangono delle “lacune” e la completezza non esiste più.
aggiornamento: una riconsiderazione della dimostrazione

pdf_ita  Brussi 2026_Teorema di Dedekind

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Riferimenti per i profani: il principio idrostatico di Archimede

Archimede di Siracusa (287-212) fu forse uno dei più grandi geni matematici dell’umanità. È ricordato per il principio della spinta idrostatica, la pompa a vite e le macchine da guerra, ma i suoi studi più avanzati riguardarono le coniche e i metodi matematici per il calcolo di superfici e volumi (ad esempio, della sfera). Questi sono considerati tra i più alti traguardi della scienza antica e, sebbene privi del rigore formale moderno, rappresentano i diretti precursori del concetto di limite e del calcolo integrale (sviluppati indipendentemente da Sir Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz alla fine del XVII secolo). Si veda, ad esempio, Lucio Russo, Archimede: un grande scienziato antico (Carocci Editore, 2019).

Un giorno, mio ​​figlio da bambino mi chiese: “Perché le navi, che sono pesanti e fatte di ferro, galleggiano?”. Non potevo spiegargli la densità dell’acqua, ma trovai una risposta adatta a un bambino: “Perché pesano di meno dell’acqua che spostano”.
Questo è esattamente il principio di Archimede sulla spinta idrostatica, che in termini più complessi si esprime come: “Un corpo immerso in un fluido subisce una spinta verso l’alto pari al peso del volume di fluido spostato”. Quindi, se questa è maggiore del peso del corpo, galleggia.

Possiamo esprimere il principio di Archimede della spinta idrostatica (forza) F(A) utilizzando la seguente formula:
[1] F(A) = m * g = ρ(fluido) * V(spostato) * g
dove m = ρ * V è la massa, g l’accelerazione di gravità, ρ rappresenta la densità e V rappresenta il volume di fluido spostato dal corpo.
Per questo motivo, qualsiasi corpo “pesa” anche in base alla densità del fluido in cui è immerso. Maggiore è la densità, maggiore è la spinta idrostatica e minore è il peso del corpo
Come esempio, se un chiodo di ferro (che, per la sua forma, non sembra in grado di galleggiare come una nave spostando molto fluido) fosse immerso in un contenitore con mercurio liquido, che ha una densità quasi doppia di quella del ferro, il chiodo galleggerebbe a un’altezza pari al peso del mercurio spostato. I calcoli mostrano che sarebbe immerso per poco più della metà del suo volume (circa il 58%).

In questo video possiamo vedere come un’incudine di ferro galleggia nel mercurio perché la densità del ferro ( 7,87 g/cm³ ) è quasi la metà di quella del mercurio ( 13,55 g/cm³ ) (fonte: Wonder of science sul canale X).

Un altro famoso esempio di galleggiamento è quello delle mongolfiere: galleggiano esattamente come una nave perché il volume di fluido (aria atmosferica) che spostano pesa di più (è più denso) di quello contenuto nel pallone, che viene riscaldato con un bruciatore (ed è quindi meno denso).

Mongolfiera (source: freedome.it)

mongolfiera

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Riferimenti per i profani: un esperimento per verificare la legge della caduta dei gravi

Le prime misurazioni osservative sulla legge di caduta dei gravi furono effettuate da Galileo Galilei (1564-1642).
La ​​famosa legge, considerando la distanza d percorsa durante la caduta, è:
[1] d = g t² / 2
dove g è una costante che rappresenta l’accelerazione gravitazionale locale (sulla Terra il valore medio è g = 9,8 m/s² ) e t è il tempo trascorso. In termini più facilmente osservabili, il tempo di caduta può essere misurato invertendo la relazione [1]:
[2] t = √(2d/g) .
Galileo predisse (ispirandosi a quanto Domingo de Soto aveva già concepito nel 1551) che tutti i corpi seguono questa legge indipendentemente dalla loro massa, studiando le sfere che rotolano (piuttosto che lasciarle cadere dalla famosa Torre di Pisa). Tuttavia, l’esperienza quotidiana ci dice che i corpi leggeri cadono più lentamente: ciò è semplicemente dovuto all’attrito del fluido in cui sono immersi (ad esempio, l’aria).

Si racconta che sulla Luna sia stato condotto un esperimento piuttosto costoso, in cui un martello e una piuma vennero lasciati cadere e toccarono terra contemporaneamente (astronauta David Scott il 2 agosto 1971).
Propongo il seguente esperimento più economico: lasciate cadere, piatta, di faccia, una moneta non troppo piccola, ad esempio una moneta da 2 euro, appoggiandoci sopra un piccolo pezzo di carta, ad esempio di 5 mm di diametro. Un’altezza ottimale potrebbe essere mezzo metro. Potete osservare che il pezzo di carta tocca terra contemporaneamente alla moneta, che impedisce all’aria di rallentarlo.
Potreste anche mettere il pezzo di carta in un contenitore trasparente e poi lasciarlo cadere, ma questa osservazione sarebbe meno evidente.

Come nota a margine, si può osservare che un corpo in caduta libera accelera fino a quando questa accelerazione eguaglia l’accelerazione di gravità, a causa della massa del corpo (tipicamente la Terra) su cui sta cadendo (eventualmente rallentata dalla resistenza dell’aria, nota come forza di resistenza aerodinamica). Una volta raggiunto questo valore, la velocità di caduta, nota come velocità terminale, rimane costante. Al contrario, un corpo che cade nel vuoto non raggiunge mai la velocità terminale perché non c’è resistenza; accelera indefinitamente finché cade.

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Riferimenti per i profani: come usare il cielo per orientarsi

Di notte, tutti sanno che il Nord è approssimativamente indicato dalla Stella Polare, che è facile da individuare utilizzando il noto asterismo del Grande Carro (e/o del Piccolo Carro, un po’ meno evidente), vedi Figura 1.

Figura 1

Durante il giorno, tuttavia, la direzione più semplice da individuare è il Sud, che viene indicato con precisione dal Sole nel suo punto più alto a mezzogiorno in ogni giorno dell’anno. Senza dover attendere la culminazione, conoscendo l’ora, è possibile stimare la direzione del Sud sommando alla direzione del Sole in quel momento (nell’emisfero settentrionale, a destra al mattino e a sinistra nel pomeriggio) l’angolo che manca per raggiungere mezzogiorno, considerando 15° per ogni ora mancante (una rotazione completa della Terra di 360° divisa per 24 ore = 15°).
Vedere la Figura 2 per alcuni riferimenti pratici per la stima degli angoli nel cielo.

L’altezza in gradi del Sole sull’orizzonte nel suo punto culminante è utilizzata da migliaia di anni per determinare la latitudine dell’osservatore. Eratostene di Cirene (276-194) la utilizzò per calcolare la circonferenza della Terra in un modo era efficace per le conoscenze dell’epoca.

E ancora, grazie alla conoscenza dell’esatto tempo “universale”, è possibile determinare la longitudine convertendo in gradi la differenza in ore/minuti tra l’ora locale di culminazione del Sole e l’ora di culminazione alla longitudine zero, presa come riferimento, al meridiano di Greenwich. Ovviamente, a est di questo meridiano, la culminazione sarà anticipata, mentre a ovest sarà posticipata.
Anche questo principio è noto da secoli. Tuttavia, fu possibile sfruttarlo solo quando furono costruiti orologi di sufficiente precisione e affidabilità (all’inizio del XVIII secolo, principalmente grazie a John Harrison, si veda ad esempio Longitude, Dava Sobel, Walker Publishing Company, 1995).

Per ottenere misurazioni accurate, sono ovviamente necessari strumenti di precisione come il sestante (oltre al GPS disponibile oggi in ogni cellulare!), ma per una stima approssimativa, quanto sopra è sufficiente.

Figura 2 – Facile riferimento per misurare gli angoli nel cielo (fonte: Nightwatch, Terence Dickinson)

angoli nel cielo

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Riferimenti per i profani: angoli nel cielo

Le posizioni e le dimensioni degli oggetti cosmologici osservati come proiettati su una sfera di sfondo vengono misurate in gradi, partendo da orientamenti di riferimento. Questa breve nota mira a mettere in luce le “misurazioni” osservative di alcuni oggetti cosmologici, misurazioni che raramente vengono prese in considerazione.
Immaginiamo una semplice osservazione del cielo notturno a occhio nudo…

Un’idea approssimativa delle misure in gradi può essere ottenuta dalla Figura 1. Altri riferimenti sono le misurazioni del Sole e della Luna, entrambe di circa 0,5° (ecco perché abbiamo le eclissi solari totali).
Poiché non sono visibili ‘a colpo d’occhio’ perché non sono molto luminosi, non ci rendiamo conto che alcuni oggetti cosmologici sono in realtà ‘grandi’ nel cielo.

Figura 1 – Facile riferimento per misurare gli angoli nel cielo (fonta: Nightwatch, Terence Dickinson)

Ad esempio:- la galassia di Andromeda (Figura 2) misura circa 3° x 1° (quindi è 6 volte la dimensione della Luna)

Figure 2 – Galassia di Andromeda (fonte: Westend61 via Getty Images)

– la Nebulosa di Orione (Figura 3, la regione di formazione stellare più vicina a noi nella nostra galassia, a circa 1350 anni luce di distanza) misura circa 1° x 1° (ovvero, il doppio delle dimensioni della Luna)

Figure 3 – Nebulosa di Orione (fonte: NASA/ESA’s Hubble Space Telescope)

– La Grande Nube di Magellano (Figura 4, visibile nell’emisfero australe) misura circa 11° x 9° (vale a dire, è 22 volte più larga della Luna).

Figure 4 – Grande Nube di Magellano (fonte: Spitzer Space Telescope by NASA)

LMC

– La cometa di Halley (Figura 5), ​​che è passata nel 1986 (e passerà di nuovo nel 2061), misurava un massimo di 15° (ovvero 30 volte la larghezza della Luna).

Figure 5 – Cometa di Halley (fonte: W. Liller, Easter Island, part of the International Halley Watch IHW)

Per fare un confronto con i pianeti vicini del nostro sistema solare:
– Giove (il cui diametro è circa 11 volte quello della Terra) può raggiungere un massimo di 50″ (ovvero solo 1/36 della larghezza della Luna)
– Saturno (il cui diametro è circa 9,5 volte quello della Terra) può raggiungere un massimo di 20″.

 

Crediti: Materiale didattico per il corso di Astronomia Sferica e Pratica, Prof. Enrico Maria Corsini (Università di Padova)

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Breve panoramica sulla legge di opacità di Kramers nell’astrofisica stellare

In stellar astrophysics, opacity ( k ) is a measure of a material’s resistance to the flow of radiative energy. Una descrizione analitica di questo fenomeno è la legge di opacità di Kramers, una relazione di potenza derivata dalla fisica atomica che caratterizza il modo in cui la materia stellare interagisce con la radiazione in specifiche condizioni termodinamiche.

pdf  Brussi 2026_Brief on Kramers’ Opacity Law in Stellar Astrophysics

 

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Formula di attrito dinamico di Chandrasekhar

Breve analisi della formula di Chandrasekhar sull’attrito dinamico nel caso generale degli incontri galattici nello studio della dinamica galattica.
Spoiler: otteniamo un risultato per la scala temporale dell’attrito dinamico che significa che in un intervallo di tempo di pochi Gyr, ad esempio con i valori delle nostre ipotesi applicati alla Via Lattea, l’orbita di un satellite massiccio si è sostanzialmente ridotta, mentre l’orbita di satelliti di massa inferiore (come gli ammassi globulari) non è stata significativamente influenzata dall’attrito dinamico.
Approfondimento scritto in inglese.

pdf  Brussi 2026_Chandrasekhar dynamical friction formula

 

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Nota per i profani: cos’è la materia oscura?

Consideriamo una galassia a disco con miliardi di stelle che formano il disco, che ruota (la galassia di Andromeda nella foto, per fare un esempio ben noto). Possiamo considerare per ciascuna di queste stelle che l’accelerazione centripeta
[1] a’ = v²/R
sia uguale all’accelerazione gravitazionale
[2] a” = G M/R²
quindi da [1] = [2] otteniamo:
[3] v = √(G M/R)
dove v è la velocità locale della sorgente considerata, R è la sua distanza dal centro galattico, G è la costante gravitazionale, M è la massa totale contenuta nel raggio R (che determina l’attrazione gravitazionale).
Misurare le velocità di rotazione delle galassie è relativamente facile, se non le si osserva frontalmente, e si osserva generalmente che in tutto il disco le velocità di rotazione delle sorgenti (stelle ma anche nubi di gas) sono pressoché costanti. Pertanto, dalla relazione [3] segue che la massa M deve aumentare in proporzione al raggio R , poiché G è una costante. Infatti, la massa contenuta nel raggio R aumenta all’aumentare di R, ma quanto si osserva non è sufficiente a giustificare il valore costante di v . Queste considerazioni portano all’ipotesi che esista una sostanza di natura invisibile e non barionica (cioè non costituita da protoni e neutroni, che non vengono rilevati) che si manifesta solo attraverso il comportamento gravitazionale, che viene chiamata materia oscura (dark matter).

Fotografia elaborata di M31, Andromeda. Non è stato possibile ottenere l’autore della bellissima fotografia.


Andromeda

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Ole Rømer e la velocità finita della luce

Il primo a osservare che la propagazione della luce non era istantanea fu l’astronomo Giovanni Domenico Cassini (1625-1712); il primo a stimarne la velocità, nel 1676, fu l’astronomo danese Ole Christensen Rømer (1644-1710), entrambi basarono le loro osservazioni sul sistema solare.
Nota scritta in inglese

pdf  Brussi 2026_Ole Rømer and the finite speed of light

 

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