Radiazione – Andrea Brussi

Velocità di fase e di gruppo nella propagazione delle onde

Un’onda armonica è una perturbazione che varia nel tempo e nello spazio seguendo la forma di una sinusoide, ovvero una funzione trigonometrica periodica del tipo
(1) y(x, t) = A cos(kx−ωt+ϕ)
che descrive un’oscillazione regolare e fluida tra un valore massimo e uno minimo. La velocità di fase e la velocità di gruppo rappresentano due modi distinti di misurare la propagazione di tale onda, a seconda che ci si concentri sulla singola oscillazione o sulla struttura complessiva del segnale.

Quando consideriamo un’onda monocromatica teorica, la velocità di fase (v_f= ω/k) indica la rapidità con cui si sposta un punto a fase costante, ovvero una singola cresta o un singolo avvallamento della sinusoide. Tuttavia, le onde reali capaci di trasmettere un segnale sono sempre formate dalla sovrapposizione di più componenti spettrali a frequenze diverse (1), distribuite all’interno di un cosiddetto pacchetto d’onda. La velocità di gruppo (v_g = dω/dk) misura proprio la velocità di propagazione dell’inviluppo complessivo di questo pacchetto.

La differenza sostanziale risiede nel significato fisico: mentre la velocità di fase descrive semplicemente il movimento dello stato oscillatorio e può, in particolari contesti come certi plasmi o metamateriali, superare la velocità della luce nel vuoto c, la velocità di gruppo rappresenta la velocità effettiva con cui si propagano l’energia e l’informazione del segnale. Nei mezzi non dispersivi, dove ogni frequenza viaggia alla stessa velocità, le due grandezze coincidono (v_f= v_g). Al contrario, nei mezzi dispersivi la dipendenza della frequenza dalle proprietà del materiale causa una separazione tra le due velocità, con la velocità di gruppo che risulta solitamente inferiore a quella di fase (v_g< v_f).

Nell’immagine esemplificativa, il punto rosso si propaga con velocità di fase mentre i punti verdi si propagano con velocità di gruppo, fonte Wikipedia.

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Fondamenti matematici e storici delle teorie estese della gravità (ETG)

Un breve approfondimento, in inglese, su un affascinante sviluppo della teoria della Relatività Generale.

Abstract
Extended Theories of Gravity (ETG) represent a prominent framework in modern theoretical physics and cosmology, aimed at modifying or extending Albert Einstein’s General Relativity to address open phenomenological questions at both ultraviolet (early universe) and infrared (galactic and cosmological) scales.

Brussi 2026 Mathematical and historical foundations of ETG (305 KB)

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Galactic Energy Profiles II

Galactic Energy Profiles: GEP II. In-System and Background Energy Densities

Aggiornamento: Ho deciso di pubblicare questo lavoro, parte della serie GEP, su Zenodo senza revisione paritaria e di utilizzarlo come base per la creazione di un successivo dataset (GEP III). Nota: questo lavoro (in inglese) è la versione 2.0 del precedente lavoro NAGE II, che è superato.

Abstract
Standard galactic energy inventories typically focus on virialized components, namely kinetic and gravitational potential energy derived from baryonic mass distributions, together with energy inferred from bolometric luminosities. In the first paper of the Galactic Energy Profiles (GEP) series, we introduced a reproducible geometric framework for the radiant and relativistic fluxes of galactic origin, accounting for their finite escape time across the Halo. In this second work, we extend the framework toward a volumetric energy inventory, where bolometric luminosity is complemented by energy densities persistently present within the galactic volume. We consider the thermal and kinetic energy of baryonic matter—including bulk motions, turbulence, and rotational degrees of freedom from large-scale dynamics down to the intrinsic angular momentum of bound systems—together with cosmic rays confined by magnetic fields and extragalactic backgrounds (photons, neutrinos, and diffuse fields) permeating the Halo. This approach distinguishes between flux-based contributions and volume-based reservoirs, providing a complementary description of the total galactic energy budget. Crucially, by resolving these volumetric reservoirs into local radial profiles, we characterize the multi-component pressure support (including thermal, magnetic, cosmic ray, and radiant pressures) available to sustain the circumgalactic medium (CGM) in hydrostatic equilibrium. Although these components vary with morphology and evolutionary state, this study is purely theoretical and simplifies the extreme variability of galactic systems to derive reference estimates and ‘standard cases’. The resulting parametrized framework, supported by publicly available Python scripts, is intended as a further methodological baseline for the sample-wide application planned in later work.

Keywords
galactic energy inventory; galactic energy density; galactic Halo energy; energy distribution based on galactic morphology

Here is the Zenodo version of the paper (1.1 MB):

Brussi 2026_GEP II

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Galactic Energy Profiles I

Galactic Energy Profiles: GEP I. Radiant and Relativistic Fluxes

Abstract
Standard galactic energy inventories typically focus on the virialized components of the system, namely the kinetic and gravitational potential energy, derived from baryonic mass distributions and stellar luminosity. This paper, the first in the Galactic Energy Profiles series, introduces a reproducible geometric framework for accounting radiant and relativistic fluxes as a standing energy reservoir. By considering the photon and neutrino escape time τ across the galactic Halo, we quantify the energy density of radiation currently in transit as a component of the total galactic budget, complementary to the standard flux-based description. The resulting closed-form expressions, together with the accompanying open-source Python implementation, are intended as a calibrated methodological baseline for the subsequent application of this framework to observed galactic samples.

Keywords
galactic energy inventory; energy residence time; galactic radiant fluxes; galactic Halo energy; galaxy morphology

Here is the Zenodo version of the paper (1.1 MB):

Brussi 2026 GEP I

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La formula di Einstein per l’energia

La formula fisica più famosa del mondo è probabilmente quella di Albert Einstein (1879-1955):
(1) E=mc²
ovvero l’energia di un corpo è uguale alla sua massa per la velocità della luce al quadrato.
Forse non molti l’hanno capita veramente ma sicuramente quasi nessuno (che non abbia fatto studi universitari) conosce la formula completa, che tiene conto sia dei corpi in movimento sia dell’energia di particelle senza massa.

Per i corpi in movimento si deve considerare un fattore moltiplicativo:
(2) E = γ mc²
In base alla relatività speciale dello stesso Einstein (lavoro del 1905), se si considerano ‘particelle’ in movimento nello spaziotempo quadridimensionale, la variazione della loro quantità di moto, detto impulso (p) è espressa dalla formula relativistica del quadrimpulso. Questo è un quadrivettore* nel quale la componente temporale è rappresentata dall’energia e le componenti spaziali dall’impulso. In particolare nel caso di un corpo in movimento la sua inerzia aumenta come nella (2) secondo un fattore proporzionale alla velocità, detto fattore di Lorentz (da Hendrik Lorentz, 1853-1928):
γ = 1 / √ (1-v²/c²)
dove v è la velocità del corpo e c è la velocità della luce.
Come si vede dalla formula e dalla Figura 1 che ne traccia l’andamento, γ aumenta all’aumentare della velocità, ma resta molto prossimo a 1 finché le velocità non siano dell’ordine di grandezza di quella della luce. Per questa ragione in genere si tende a ometterlo, considerando γ ≈ 1 . L’andamento asintotico di γ evidenzia anche la difficoltà dei corpi materiali di accelerare a velocità che si avvicinino a quella della luce, perché la loro inerzia avrebbe un andamento altrettanto asintotico.

Figura 1 (credits: youmath.it)

Ma il quadrimpulso tiene conto anche delle particelle che non hanno massa, come i fotoni. Dall’intuizione di Louis de Broglie (1892-1987), la lunghezza d’onda di un fotone è inversamente proporzionale alla quantità di moto:
λ = h / p
dove h è la costante di Planck. Ricordando che l’energia del fotone si può esprimere come:
E = hc / λ
è immediato ottenere la relazione:
(3) E = pc

La formula completa di Einstein dell’equazione per l’energia è quindi:
(4) E² = (pc)² + (mc²)²

Si può facilmente vedere come, nel caso di un fotone senza massa, la (4) si riduca alla (3), energia del fotone, e nel caso di una particella non in movimento la (4) si riduca alla (1), ovvero l’energia della materia a riposo. Nel caso di un corpo in movimento, si deve tenere conto sia dell’energia dovuta al movimento sia dell’energia a riposo, ovvero la relazione (2).

* Un quadrivettore è un vettore a quattro dimensioni definito nello spaziotempo (relativistico) di Minkowski (Hermann Minkowski 1864-1909). Esso unifica in un unico oggetto matematico una grandezza temporale e le tre grandezze spaziali corrispondenti (ad esempio tempo e spazio, o energia e quantità di moto).
La sua caratteristica fondamentale è che il suo ‘modulo’ (la sua lunghezza) resta invariato per ogni osservatore, garantendo che le leggi della fisica rimangano le stesse anche quando sono osservate da sistemi di riferimento in movimento relativo tra loro.

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Il palcoscenico della realtà – Ovvero perché la forza di gravità non è una forza e la velocità della luce non è una velocità

Premessa
Quello che esploreremo l’ho definito il palcoscenico della realtà, ovvero dove ci muoviamo e dove si muove quello che ci circonda (una nota banale a margine è che nulla è ‘fermo’ nel nostro universo, anche perché non c’è un riferimento assoluto rispetto al quale misurare il movimento). Questo palcoscenico è quello che viene chiamato lo spaziotempo, costituito dalle tre abituali dimensioni spaziali più il tempo, che è semplicemente una dimensione aggiuntiva, che non
possiamo ‘visualizzare’ se non immaginando di togliere qualcuna di quelle spaziali (come nei famosi diagrammi di Minkowsky (vedi Figura, Hermann Minkowski 1864-1909).
Fu Alber Einstein (1879-1955) nei suoi geniali lavori di inizio ‘900 che considerò l’universo non come uno spazio vuoto dove il tempo scorre a parte, ma come un unico contesto a quattro dimensioni indissolubilmente legate da una metrica governata dalle leggi della gravitazione. In questo scenario, il tempo non è un orologio esterno, ma una direzione reale in cui ci muoviamo esattamente come ci muoviamo verso nord o verso sud, per dirla in termini geografici.

La gravità
Perché la forza di gravità non è una forza? Per secoli, grazie ad Isaac Newton (1643-1727), abbiamo pensato alla gravità come a una specie di ‘mano invisibile’ che ‘tira’ gli oggetti. Ma se applichiamo quello che Eistein chiamò il principio di equivalenza (e che raccontò come “la più felice intuizione della mia vita”), scopriamo un concetto fondamentale. Immaginò di essere in un ascensore nello spazio profondo, lontano dalla gravitazione,
accelerato verso l’alto (ricordo che l’accelerazione è la variazione di una velocità). Ci si sentirebbe schiacciati al suolo esattamente come sulla Terra. Lasciando libera la leggendaria mela, presa in prestito da Newton, essa ‘cadrà’ verso il pavimento. Eppure, lì non c’è nessuna gravità che ‘tira’: c’è solo accelerazione.
Einstein intuì quindi che la gravità non è una forza che agisce nello spazio, ma l’effetto che osserviamo e chiamiamo forza è la conseguenza della curvatura dello spaziotempo stesso. Infatti la presenza della massa, o meglio della massa-energia, essendo la stessa cosa a meno di un fattore di conversione (la famosa relazione E=mc²), deforma il tessuto dello spaziotempo come un peso su un telo elastico. Ad esempio la Terra, con la sua concentrazione di massa-energia, crea una deformazione geometrica: la mela non cade perché una forza la spinge, ma perché sta semplicemente seguendo la linea più dritta possibile (che si chiama geodetica) in uno spazio che è diventato curvo. Secondo le leggi della dinamica di Newton, un corpo su cui non agiscono forze si muove di moto rettilineo uniforme (e rispetta il principio di inerzia); secondo la relatività, una mela che cade in un campo gravitazionale è, paradossalmente, l’unico oggetto che non subisce alcuna forza (e rispetta il principio di inerzia).
Per citare ancora Einstein: “La materia [o meglio la materia-energia] dice allo spaziotempo come curvarsi, e lo spaziotempo dice alla materia come muoversi.”

La luce
Consideriamo ora la luce. Le attribuiamo una ‘velocità’ (che ricordiamo è la variazione di una posizione), ma come spiega il fisico Leonard Susskind (1940-), non è una velocità nel senso comune del termine (come quella di un’auto). È invece una proprietà fondamentale della geometria dello spazio-tempo, un semplice fattore di conversione tra le coordinate spaziali e quella temporale.
Nell’universo quadridimensionale nel quale esistiamo, spazio e tempo sono direzioni diverse della stessa cosa, e c è il numero che ci dice quanti metri equivalgono a un secondo. Ovvero tempo = spazio diviso la costante c . Il valore della costante universale c è circa 300.000 km al secondo, ovvero un po’ più di un miliardo di km all’ora (circa 1.08 mld Km /h). La suggestione di Susskind è che ogni oggetto nell’universo si muove sempre e costantemente alla stessa identica velocità: c . Ovvero la nota velocità della luce.
– Quando siamo fermi nello spazio, ad esempio sulle sedie su cui siamo seduti, stiamo viaggiando alla velocità della luce lungo l’asse del tempo
– Se iniziamo a muoverci nello spazio, dobbiamo ‘sottrarre’ velocità al tempo compensando il movimento spaziale (come per pagare un contributo utilizzando il fattore di conversione, c ). Da questo deriva la relativistica dilatazione del tempo (es. paradosso dei gemelli).
Non esistono velocità variabili, esiste solo una ripartizione della velocità totale tra le diverse dimensioni. Quindi la luce non sta ‘correndo’: potremmo dire che la luce spende tutta la sua dotazione nello spazio e gli rimane zero per il tempo, in base al fattore di conversione c .
Questa costante, ovvero la velocità della luce, è il limite geometrico di ciò che è possibile che accada nell’universo.

Conclusioni
Non esiste quindi un limite di velocità, esiste solo una geometria globale in cui siamo tutti immersi. La gravità è la curvatura della strada; la costante c tiene insieme il tessuto stesso del reale che ci circonda. La fisica non descrive ‘cosa succede’, ma descrive la struttura geometrica in cui tutto è già contenuto. Capire questo significa smettere di guardare le ‘cose’ che si muovono e iniziare a guardare la forma del palcoscenico su cui si muovono.

Un diagramma di Minkowsky (credits to medium.com)

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The URD Framework – in sviluppo

La struttura URD: distanze cosmologiche dal redshift in un contesto non standard

Mentre sto ancora sviluppando il progetto, anche con studi paralleli sul Tolman test e sulla qualità dei dati indiretti ottenuti dalle recenti survey di galassie, rendo pubblico il mio lavoro come preprint. Spero sempre che qualcuno possa essere interessato alle mie congetture o magari anche disposto a collaborare con me per affrontare le criticità del modello URD. Lo studio è in inglese.

Abstract
A phenomenological framework for determining cosmological distances is proposed, based on a non-expanding spacetime interpretation consistent with current observational datasets. The model introduces a redshift mechanism associated with cumulative photon energy attenuation along the line of sight, formulated in a way that is not equivalent to standard tired light scenarios. The approach is constructed to remain compatible with established relativistic principles whereas adopting boundary conditions distinct from the metric expansion paradigm. Distance estimation is achieved through the URD equation (U energy density, Redshift, Distance), which incorporates two phenomenological parameters that describe conformal geometric dissipation in extended gravity and an effective relativistic path-length correction. Within this formulation, the model addresses the primary shortcomings traditionally associated with energy dissipation effects, specifically reconciling time dilation in supernova light curves and the Tolman surface brightness relation. The model is calibrated using the Pantheon+ supernova sample by comparing and cross-validating distances inferred from the proposed redshift mapping with redshift-independent indicators, with additional comparison performed against baryon acoustic oscillations, radio galaxy samples, and high-energy quasars. Across these datasets, the framework reproduces observational constraints over a wide redshift range within a phenomenological, non-standard cosmological setting. The results indicate that alternative, non-expansion-based mappings between redshift and distance can be constructed that remain consistent within the observational range considered, suggesting a phenomenological alternative worth further study.
Keywords
cosmological distance ladder; redshift-distance relation; non-expanding spacetime; cosmic microwave background; extended gravity; Pantheon+ sample; baryon acoustic oscillations; Tolman test; time dilation; geodetic correction

Questa è l’ultima versione del preprint (5.1 MB):

Brussi 2026_URD Framework Preprint

Versione caricata su Zenodo:

DOI – zenodo.20763682

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Leonard Susskind sulla costante c

Un approfondimento di Leonard Susskind sulla costante c comunemente chiamata “velocità della luce”. Effettivamente un insieme di nozioni note ma reinterpretate in modo illuminante, che meritano delle riflessioni.

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II teorema del viriale e l’equilibrio stellare

Il teorema del viriale costituisce un risultato analitico di fondamentale importanza nella meccanica dei sistemi di particelle, poiché stabilisce una connessione rigorosa tra le medie temporali delle energie cinetica e potenziale. La sua validità si estende a sistemi in equilibrio dinamico, dove le forze interne sono regolate da potenziali che dipendono dalla distanza secondo una legge di potenza, come nel caso della gravitazione universale o dell’elettrostatica.

Brussi 2026_Il teorema del viriale e l’equilibrio stellare

Teorema del viriale

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La diffusione di Mie e le nuvole bianche

Perché le nuvole sono bianche?
Dobbiamo esaminare un tipo di diffusione (scattering) che coinvolge i fotoni della radiazione solare quando interagiscono con le molecole che compongono le gocce di vapore che costituiscono le nuvole, o la nebbia. Diversamente dal caso della diffusione di Rayleigh (che coinvolge le molecole di azoto e ossigeno dell’aria, vedi La diffusione di Rayleigh e il cielo blu, di dimensioni inferiori alla lunghezza d’onda della radiazione incidente), in questo caso le gocce hanno lo stesso ordine di grandezza della radiazione (o sono di poco superiori). Il fenomeno è detto diffusione di Mie, dal fisico tedesco Gustav Adolf Fedor Wilhelm Ludwig Mie (1869-1957) che ne diede una rigorosa dimostrazione matematica.

Il fatto che le microgocce di vapore siano ‘grandi’, le porta a diffondere quasi tutte le lunghezze d’onda con la stessa intensità, quindi la luce appare bianca (o biancastra). Non c’è l’effetto di selezione come nel caso del cielo blu.
Un’altra caratteristica è che la diffusione non avviene in modo omogeneo ma soprattutto in avanti (nella stessa direzione della luce incidente), creando un forte riverbero, mentre una parte minore viene diffusa all’indietro.
Vedi Figura 2.

Figura 1 – Nuvole bianche !

Figura 2 – Diffusione di Rayleigh e diffusione di Mie

Questo spiega perché le nuvole siano tendenzialmente bianche e perché illuminando con i fari dell’auto la nebbia si crei un bagliore accecante (dovuto soprattutto alla componente retro-diffusa). Vedi Figura 3.
Spiega anche perché i camionisti, che hanno una posizione di guida almeno un paio di metri superiore al livello dei loro fari (e non circa mezzo metro o meno come nelle automobili), subiscano in modo minore questo effetto di retro-diffusione e quindi possano effettivamente vedere la strada nella nebbia meglio di un automobilista.Vedi Figura 4 (chiaramente sono esempi banali, solo evocativi dei diversi punti di vista).
Questa è anche la ragione per la quale i fari antinebbia siano sempre posizionati molto in basso, sia su auto sia su veicoli commerciali: per avere il maggior angolo possibile rispetto alla retro illuminazione della diffusione di Mie.

Figura 3 -Guida di un’auto nella nebbia che acceca la visuale

Figura 4 -Guida di un camion di notte

Tecnicamente,
la teoria di Mie fornisce una soluzione esatta alle equazioni di Maxwell per l’interazione di un’onda elettromagnetica piana con una sfera omogenea di materiale dielettrico. Non ha limiti superiori alle dimensioni del materiale di interazione (come nel caso della diffusione di Rayleigh).
Nella teoria di Mie, l’estinzione totale della luce (assorbimento + scattering) è definita dal coefficiente Qₑₓₜ.
Matematicamente, il campo elettrico diffuso è espresso come una serie infinita di coefficienti (chiamati aₙ e bₙ ), che rappresentano i contributi dei multipoli elettrici e magnetici:

dove Mₙ e Nₙ sono funzioni d’onda vettoriali sferiche. Più la particella è grande (nebbia), più termini della serie sono necessari per calcolare la diffusione corretta.

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