La cosiddetta sfida eleatica lanciata da Parmenide (di Elea, appunto) alle cosmogonie con il proprio monismo, è stata raccolta dal discepolo Zenone (sempre di Elea), che spinse il logos agli estremi individuando dei paradossi che volevano dimostrare ad esempio l’impossibilità logica del moto, nel caso in cui non si accettasse il principio fondante dell’essere come unico. Il più famoso è quello di Achille piè veloce e la tartaruga (zampalenta?), in parole mie: “Anche se Achille concedesse un vantaggio (di spazio o di tempo) a una tartaruga in una gara di corsa, per ogni spostamento di Achille la tartaruga si allontanerebbe (anche se meno del percorso di Achille). Immaginando intervalli di spostamento di Achille sempre più piccoli, in ogni caso la tartaruga si allontana, quindi Achille non potrà mai raggiungerla.”
Il logos applicato SEMBRA coerente, ma con un minimo di matematica si può trovarne il vulnus del ragionamento. Faccio un esempio considerando le distanze.
Immaginiamo che Achille vada 10 volte più veloce della tartaruga e che le conceda 10 metri di vantaggio nella partenza.
Per ogni avanzamento di Achille la tartaruga avrà percorso 1/10 di quell’avanzamento. “Per ogni” significa che possiamo sommare tutti questi (infiniti) intervalli. Potremo quindi scrivere la formula della distanza complessiva D = vantaggio + spostamenti percorsa da Achille:
D = 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + … all’infinito, che si scrive
D = 10 + ∑n=0∞ (1/10)n .
Si tratta di una serie del tipo ∑n=0∞ qn che è convergente se |q| < 1 (come in questo caso, con q = 0.1), con valore 1/(1 − q) .
Si calcola facilmente D = 10 + 10/9 ≈ 11.11 metri come distanza alla quale Achille raggiunge la tartaruga.
Il buon Zenone non si immaginava, quasi 2500 anni fa, che una somma di infiniti addendi potesse dare come risultato un numero finito ma come dicevo lo scopo non era matematico ma filosofico (termine in realtà ancora improprio per quell’epoca).
È interessante osservare che, nonostante concettualmente un ragionamento analogo alle serie convergenti fosse stato affrontato da Archimede di Siracusa (nella quadratura della parabola) solo un paio di secoli dopo, i vincoli concettuali legati all’infinito (potenziale vs attuale) e la mancanza del concetto di limite hanno lasciato irrisolti i paradossi di Zenone fino a Augustin-Louis Cauchy nel XIX secolo.
