Categoria: Matematica

Figura 1 – La bottiglia di Klein

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La bottiglia di Klein, o superficie di Klein, dal nome del matematico tedesco Felix Christian Klein (1849-1925) che la descrisse a fine 19° secolo negli anni di sviluppo della topologia*, è un esempio di superficie non orientabile, senza un interno o un esterno distinti, si definisce infatti varietà bidimensionale non orientabile, come il già visto nastro di Möbius, con la differenza importante che non ha bordi.
Si tratta di una specie di bottiglia nella quale il collo si connette al fondo dovendo attraversare la parete della bottiglia stessa come nella Figura 1. Si osserva così in una visualizzazione tridimensionale, ma come altri spazi topologici (che consideriamo sempre euclidei), non è ben visualizzabile in uno spazio ℝ³. Analizzata in ℝ⁴ non ci sono sovrapposizioni (autointersezioni), si capisce che il collo non tocca la parete.

Procedendo con le dimensioni, si può immaginare una varietà tridimensionale non orientabile che non può essere incorporata in ℝ⁴ ma può esserlo in ℝ⁵. Ad esempio, collegando due estremità di uno Spherinder nello stesso modo in cui si collegano le due estremità di un cilindro per una bottiglia di Klein.

Se tagliata a metà, la bottiglia di Klein crea due nastri di Möbius come in Figura 2, ricordando che in realtà l’intersezione non c’è in ℝ⁴.

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Figure 2 – Una bottiglia di Klein tagliata a metà dà origine a due nastri di Möbius.(source: wikimedia licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 Int license)

 

Figure 3 – Un gustoso solido toroidale

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La rappresentazione tradizionale (per immersione) della bottiglia di Klein è achirale (ovvero, la sua immagine speculare non può essere distinta dall’oggetto). Il solido della bottiglia di Klein è considerato la versione non orientabile del toro solido (come quello in Figura 3).

 

Topologia*
La topologia è un’area della matematica che studia le proprietà degli oggetti matematici (delle figure) che che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza ‘buchi’, ‘sovrapposizioni’ o ‘incollature’. Ad esempio un cubo è topologicamente equivalente a una sfera, invece un toro (ciambella) no, perché ha un buco che non si può eliminare con una deformazione.
Per un approfondimento è esauriente la pagina Wikipedia.

Il matematico e filosofo George Boole (1815-1864) sviluppò l’associazione tra logica e matematica, analizzando le leggi delle operazioni mentali alla base del ragionamento, esprimendole in un linguaggio simbolico che consentisse agli operatori logici di operare come operatori algebrici, per mezzo di enunciati calcolabili. Creò quella che si definisce l’algebra booleana.

La logica booleana è alla base dell’informatica e dell’elettronica digitale, ed è fondata sulla manipolazione di variabili che possono assumere solo due valori: Vero (1) e Falso (0). Gli operatori logici booleani, di seguito dettagliati, sono applicati come ‘porte logiche’ a dispositivi elettronici, consentendo di costruire le operazioni di base, poi riprodotte a miliardi nei moderni device, per la realizzazione dei computer e degli smartphone che conosciamo. Per precisione si tratta sia di porte fisiche, transistor* nell’hardware, sia di porte non fisiche, nelle istruzioni dei codici dei sistemi operativi e delle applicazioni.

Gli operatori fondamentali sono:
AND Restituisce vero (1) solo se tutti gli ingressi sono veri.
OR (Restituisce vero (1) se almeno uno degli ingressi è vero.
NOT (Negazione): Operatore che inverte il valore di ingresso: 1 diventa 0, e viceversa.

A	B	AND (A*B)	OR (A+B)
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	1

Con gli operatori fondamentali si costruiscono le porte logiche:
NAND (Not-AND): Uscita falsa solo se tutti gli ingressi sono veri.
NOR (Not-OR): Uscita vera solo se tutti gli ingressi sono falsi.
XOR (Exclusive OR): Vero se gli ingressi sono diversi, falso se uguali.

Le combinazioni di queste porte e degli operatori fondamentali con un’algebra che ne consenta l’operatività permette di costruire circuiti digitali e strutture di istruzioni che elaborano e memorizzano dati.

 

Transistor*

I transistor sono dispositivi costituiti da materiali semiconduttori (es silicio modificato) che si comporta come “interruttore” regolando flussi di corrente sulla base di un segnale di controllo (nel senso che il suo valore determina se il flusso può passare o no).
Stato OFF. Se non c’è segnale sul controllo (valore 0) il transistor blocca il flusso (circuito aperto).
Stato ON. Se c’è segnale sul controllo (valore 1) il transistor consente il flusso (circuito chiuso).
Le porte logiche si possono così costruire:
porta AND: due transistor in serie, la corrente passa solo se entrambi sono ON (1 AND 1 = 1)
porta OR: due transistor in parallelo, la corrente passa se almeno uno dei due è ON (1 OR 0 = 1)
porta NOT: detta inverter, un singolo transistor configurato in modo da scollegare l’uscita (circuito aperto) se riceve il segnale (valore 1).

Figura 1 – Il nastro di Möbius

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Il nastro di Möbius è un oggetto tridimensionale studiato in topologia* con singolari caratteristiche: possiede un’unica faccia e un unico bordo (vedi Figura 1). Si può facilmente realizzare con una striscia di carta di forma rettangolare allungata, unendo i lati corti facendo prima fare mezza rotazione ai lati stessi. Con l’oggetto in mano si verifica immediatamente, anche percorrendoli con un dito, che presenta un’unica faccia e un unico bordo.

Il nome si deve ad August Ferdinand Möbius (1790-1868), che per primo studiò le superfici non orientabili (sulle quali non è possibile distinguere configurazioni positive e negative, un dentro e un fuori) e le superfici rigate (che si possono ottenere con una unione di rette, come il piano, il cilindro, il cono), come questa.

In ℝ³ il nastro è descritto dalle seguenti equazioni parametriche in coordinate cartesiane:

dove r e l sono numeri positivi fissati con r> l (condizione necessaria perché il nastro abbia la possibilità di attorcigliarsi).

Si può dire informalmente che il parametro u è un angolo che ‘gira intorno’
al nastro in senso antiorario, mentre il parametro v ‘si muove da un lato all’altro’ della striscia. Fissati due valori per v , ad esempio v = -1, 1 , si ottengono le curve delle Figure 2 e 3, che sommate delineano il bordo del nastro nella Figura 4. Com’è facile intuire per v = 0 si ottiene una circonferenza, ovvero una curva chiusa a metà del nastro. Curiosamente, tagliando il nastro lungo questa linea mediana non si ottengono due nastri ma un nuovo singolo nastro attorcigliato due volte.

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Figure 2 – Curva ottenuta con v=1 (fonte: Riccardo Dossena, UniPV)

Figure 3 – Curva ottenuta con v= -1 (fonte: Riccardo Dossena, UniPV)

Figura 4 – Curva ottenuta dalla somma delle due precedenti, bordo del nastro (fonte: Riccardo Dossena, UniPV)

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Definito il bordo, è facile capire come l’insieme di tutte le curve descritte dai due parametri u, v , negli intervalli considerati, possa definire l’intera superficie del nastro.

Si omettono le considerazioni topologiche e si invita a fare degli esperimenti costruendo nastri con due o più rotazioni degli estremi prima della loro saldatura, e tagliando il nastro nella sua metà nei vari casi per vedere i risultati… sorprendenti !

 

Topologia*
La topologia è un’area della matematica che studia le proprietà degli oggetti matematici (delle figure) che che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza ‘buchi’, ‘sovrapposizioni’ o ‘incollature’. Ad esempio un cubo è topologicamente equivalente a una sfera, invece un toro (ciambella) no, perché ha un buco che non si può eliminare con una deformazione.
Per un approfondimento è esauriente la pagina Wikipedia.

Figure 1 – Torricelli trumpet

La tromba di Torricelli è un solido che si ottiene dalla rivoluzione intorno all’asse x della curva di equazione y=1/x nell’intervallo [1, +∞) , vedi Figura 2. Prende il nome da Evangelista Torricelli (1608-1647) che lo studiò nel 17° secolo.
La peculiarità di questo solido è avere volume finito ma area infinita.

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Figure 2 – Torricelli trumpet 2D equation (source: maeckes.nl)

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Per verificarlo oggi possiamo facilmente utilizzare il calcolo integrale, che non esisteva al tempo di Torricelli.

In un sistema di coordinate (x, y, z) la tromba è descritta dalle equazioni parametriche:
x(ξ,θ) = ξ
y(ξ,θ) = a cos⁡θ / ξ
z(ξ,θ) = a sin⁡θ / ξ

Il volume e l’area si calcolano come segue, dove a > 1 è un valore di x

È quindi evidente che per a → ∞ il volume si avvicini alla quantità finita π , mentre l’area sia divergente.

Questo apparente paradosso tra valori finiti e infiniti relativi allo stesso oggetto, si può facilmente spiegare ‘matematicamente’. Se si considera un barattolo di colore, questo ha sicuramente un volume finito. Se lo si spalma su una superficie, matematicamente lo spessore potrebbe essere infintesimo, quindi potrebbe effettivamente ricoprire una superficie infinita.

In logica classica* è facile confonderli ma sono cose diverse.
Dati due enunciati dichiarativi a cui si può attribuire un valore di verità, un antecedente P (premessa) e un conseguente C (conclusione), si considera:

P → C (se P allora C) un enunciato con un valore di verità
P ⇒ C (da P segue C) una inferenza: C è deducibile assumendo P.

La differenza cruciale è proprio in questa deducibilità ottenibile nell’inferenza. Invece l’implicazione P → C risulta vera anche quando P è falso. Quindi può accadere che P sia falso, C sia falso, eppure P → C sia vera. In particolare, se P è falso, P → C è vera qualunque sia C. Per questo l’implicazione, da sola, non stabilisce (né dimostra) la verità di C.
Invece da P segue C è legittimo solo quando P è disponibile come ipotesi nel ragionamento: ed è il caso tipico in cui, se P e P → C, allora si può concludere C. Ma se P è falso (o non è assunto), l’implicazione si dice ‘vacuamente vera’ e non autorizza alcuna conclusione su C.

Se e solo se: equivalenza come doppia inferenza
Le proprietà dell’inferenza la rendono molto utile: gran parte delle dimostrazioni matematiche si basa sul se e solo se, che esprime un’equivalenza tra due enunciati A e B.
Dire:
A se e solo se B
significa precisamente dimostrare entrambi i versi:
A ⇒ B (A è sufficiente per B)
B ⇒ A (B è sufficiente per A)
Quando entrambe le inferenze sono valide, A e B sono logicamente equivalenti, quindi hanno lo stesso valore di verità.

Logica classica *

Si usa indicare così quei sistemi logici (i più usati in matematica di base) in cui valgono leggi e regole considerate tradizionali, come:

Principio del terzo escluso: ogni enunciato è o vero o falso (P oppure non-P)
Non contraddizione: non possono essere veri insieme P e non-P
Doppia negazione: negare due volte riporta all’enunciato iniziale
Esplosione (in presenza di contraddizione): da una contraddizione si può derivare qualsiasi conclusione.

Le logiche ‘non classiche’ derivano dal voler rinunciare o modificare qualcuna di queste caratteristiche. A titolo di esempio:

logica intuizionista: non accetta il terzo escluso come regola generale
logiche paraconsistenti: non accettano l’esplosione (tollerano contraddizioni senza far ‘collassare’ tutto)
logiche modali: aggiungono operatori come necessariamente / possibilmente.