Contributi personali – Pagina 5

Capire le misure: 1 – Terra e Luna

Nella vita di tutti i giorni, non ci soffermiamo a pensare alle ‘dimensioni’ del pianeta in cui viviamo, il Sistema Solare, e della galassia (Via Lattea) in cui orbitiamo con la nostra astronave madre, la Terra.
In una serie di approfondimenti, cerchiamo di comprendere le distanze e alcuni parametri che caratterizzano questi sistemi. Il primo riguarda la Terra e il suo satellite, la Luna (Figura 1).

Figura 1 – la Terra e la Luna

Il raggio medio della Terra (leggermente più piccolo ai poli che all’equatore) è di circa 6.370 km, il che significa che la sua circonferenza è di circa 40.000 km. Pertanto, un segnale elettromagnetico che viaggia a 300.000 km/s fa il giro del pianeta 7,5 volte in un secondo.

Ecco alcune misurazioni interessanti da confrontare:

– Lo spessore della troposfera, dove si verificano praticamente tutti i fenomeni meteorologici e dove si concentra quasi tutto il vapore acqueo, varia da circa 8 km (ai poli) a circa 20 km (all’equatore), ovvero in media 14 km. Ciò significa che se la Terra avesse le dimensioni di un pallone da calcio (raggio di circa 11 cm), la troposfera avrebbe all’incirca lo spessore di due fogli di carta (circa 0,24 mm).

– La montagna più alta (Everest, circa 8,8 km) e l’oceano più profondo (Fossa delle Marianne, circa 10,9 km) sono dello stesso ordine di grandezza dell’altezza della troposfera. Come a dire che tenendo quel pallone da calcio in mano non si noterebbe quasi la loro presenza.

– La Luna, che ha un raggio di 1.737 km, sarebbe leggermente più piccola di una pallina da tennis (raggio di circa 3 cm) rispetto alla Terra, grande quanto un pallone da calcio, vedi Figura 2. La sua distanza media dalla Terra è di circa 380.000 km, quindi un segnale elettromagnetico impiega circa 1,3 secondi per arrivare; nelle proporzioni calcolate per le palline, la distanza tra loro sarebbe di circa 6,5 metri.

Figura 2 – Pallone da calcio e palla da tennis nelle proporzioni della Terra e della Luna

– L’altitudine a cui volano gli aerei di linea, circa 10 km, è poco più spessa di un foglio di carta. Visti dallo spazio, sembrano più strisciare che volare. La Stazione Spaziale Internazionale (ISS) è mantenuta a un’altitudine di circa 400 km, circa 7 mm sopra il pallone da calcio, a una velocità di circa 28.000 km/h, ovvero si sposterebbe di circa 8 mm al minuto.

– Considerando la rotazione terrestre in 24 ore, la velocità tangenziale di un punto all’equatore è di quasi 1.700 km/h; alle nostre latitudini, di circa 45°, la velocità è di poco inferiore a 1.200 km/h. Per questo motivo, le rampe di lancio delle sonde spaziali sono posizionate a basse latitudini, vicino all’equatore, per sfruttare la maggiore velocità lineare. La velocità di fuga necessaria per vincere l’attrazione gravitazionale (circa 40.000 km/h sulla Terra) è più facilmente raggiungibile sfruttando la velocità del punto di lancio (con una direzione di partenza verso est per ottenere il massimo effetto, considerando che la Terra ruota verso est e le velocità possono sommarsi).
Si noti che la velocità di fuga non è legata alla direzione ‘verso l’alto’; è la velocità minima a una data altitudine per essere svincolati dal legame gravitazionale, in qualsiasi direzione, purché non si entri in collisione con il pianeta.

Prossimi episodi:
Capire le misure: 2 – Sistema solare
Capire le misure: 3 – Via Lattea
Capire le misure: 4 – Ammassi di galassie e oltre

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Quanto vuota è la materia?

Molto vuota.
Estremamente vuota.

Consideriamo i costituenti elementari, gli atomi, che solitamente si aggregano in molecole per formare la materia che conosciamo. Sono costituiti da un nucleo che rappresenta quasi l’intera massa, sotto forma di protoni (carichi positivamente) e neutroni, con massa quasi uguale a quella dei protoni ma privi di carica, e da elettroni molto leggeri (1/2000 della massa del protone) carichi negativamente che ‘orbitano’ attorno al nucleo. In condizioni normali, le cariche elettriche dei protoni e degli elettroni dell’atomo ‘neutro’ si bilanciano a vicenda. Tutte le aggregazioni tra atomi avvengono grazie alle forze di attrazione tra cariche diverse (mentre, come sappiamo, cariche uguali si respingono, come nel caso delle forze magnetiche). Nel nucleo, i protoni, pur avendo la stessa carica positiva e respingendosi, sono tenuti insieme da una forza estremamente intensa detta forza nucleare forte.

Figure 1 – Esempio di uno schema molto impreciso di un atomo (fonte: freepic.com)

La Figura 1 è un tipico esempio di rappresentazione errata di un atomo, per molte ragioni, ma due sono fondamentali: le particelle non sono ‘palle’ ma densità di probabilità, ovvero ‘nuvole allungate’ anziché ‘palle’; le proporzioni sono mostruosamente fuorvianti. Questo ci porta all’argomento di questo post. Consideriamo l’atomo più piccolo e semplice, l’atomo di idrogeno neutro H (composto da 1 protone e 1 elettrone), e l’atomo di ferro neutro Fe (l’isotopo più comune è composto da 26 protoni, 30 neutroni e 26 elettroni). La massa di Fe è quindi circa 56 volte quella di H. Per le misurazioni atomiche, utilizziamo gli angstrom (Å, dal nome del fisico svedese Anders Jonas Ångström, 1814-1874), pari a un decimo di miliardesimo di metro (10¯¹º m). Consideriamo anche solo i nuclei e la distanza minima degli elettroni dal nucleo, ovvero il raggio della loro orbita più interna (quindi la ‘dimensione’ dell’intero atomo è molto maggiore). Alcune misurazioni effettive di queste particelle sono approssimativamente le seguenti:

Atom	Nucleus	Min distance electrons	Δ
H	1,7 · 10^-5 Å (0,000017 Å)	0,5 Å	~2.9 · 10⁴
Fe	5 · 10^-5 Å (0,00005 Å)	1,25 Å	~2.5 · 10⁴

Quindi tra il nucleo e l’orbita più interna degli elettroni ci sono circa quattro ordini di grandezza! Questo è spazio vuoto. Ovviamente, ci sono campi elettrici che tengono insieme tutto, ma non ci sono particelle massicce, legate o meno, in quello spazio, e non possono essercene in nessun atomo, in normali condizioni della materia.

Quattro ordini di grandezza significa che se il nucleo di Fe avesse le dimensioni di una prugna (5 cm), ci sarebbe spazio vuoto fino a 1250 metri di distanza. Per H, se il nucleo avesse le dimensioni di un acino d’uva (17 mm), ci sarebbe spazio vuoto fino a 500 metri di distanza.

Ciò che permette alla materia di legarsi allo stato solido sono le forze di legame elettrico tra gli atomi, dovute alla presenza/assenza di elettroni nei gusci atomici più esterni, ma questa è un’altra storia.
Questi spazi vuoti si comprimono solo in condizioni estreme, ad esempio quando la materia degenera in stelle che si trasformano in nane bianche o stelle di neutroni (quando la forza di radiazione verso l’esterno cessa e la gravità comprime la stella), raggiungendo densità inimmaginabili (un acino d’uva avrebbe una massa di miliardi di tonnellate). Ma anche questa è un’altra storia.

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Il paradosso di Olbers e il cielo notturno buio

Perché il cielo notturno è buio?
Se l’universo fosse infinito, eterno e statico, come sosteneva Giordano Bruno (1548-1600), e come sosteneva la cosmologia fino all’inizio del XX secolo, aggiungendo che è popolato da stelle in modo omogeneo, il cielo notturno dovrebbe essere luminoso e non buio. Questa contraddizione era già stata notata da Johannes Kepler (1571-1630) nel 1610 nella Dissertatio cum Nuncio Sidereo.
Tuttavia, il principio fu chiaramente formulato nel 1826 da Einrich Wilhelm Olbers (1758-1840), che dimostrò matematicamente (vedi sotto, ragionamento facoltativo che può essere saltato) perché il cielo notturno dovesse brillare, secondo la cosmologia dell’epoca, evidenziando un paradosso rispetto all’osservazione.

Immaginando l’universo come costituito da gusci sferici concentrici rispetto al nostro punto di osservazione (vedi Figura 1), l’intensità della radiazione ricevuta (flusso f ) da una sorgente ( L ) a una distanza ( r ) è inversamente proporzionale al quadrato della distanza:
[1] f = L / 4 π r²
Il numero di sorgenti contenute nel guscio è proporzionale al volume, che aumenta con il quadrato della distanza (con incrementi infinitesimali
dr = R – r (con riferimento alla Figura 1):
[2] dn ∝ dV ≈ 4 π r² dr
Pertanto, gli effetti di [1] e [2] si compensano a vicenda e ogni guscio contribuisce con la stessa intensità, indipendentemente dalla distanza.
L’intensità infinitesimale ( dI ) derivante dal guscio infinitesimale, moltiplicando [1] e [2], è:
[3] dI = f dn = n L dr
Integrando [3] si ottiene l’intensità totale:
[4] I = ∫₀ᴿ n L dr = n L R
Pertanto, per R → ∞ , l’intensità [4] dovrebbe diventare infinita. Quindi c’è qualcosa che non va nel ragionamento (da qui il paradosso).

Figura 1 – schizzo di un guscio sferico

L’osservazione del cielo notturno buio viene spiegata in termini moderni (basandosi sul modello cosmologico standard) perché l’universo esiste da un tempo finito (ipotesi del Big Bang) ed è in espansione (interpretazione del redshift della radiazione proveniente da sorgenti remote).
Nel primo caso, si considera che la luce proveniente da sorgenti remote, che ha una velocità finita, semplicemente non ci abbia ancora raggiunto.

Nel secondo caso, il redshift, ovvero lo spostamento della luce verso lunghezze d’onda maggiori (ad esempio, nella banda dell’infrarosso, oltre l’intervallo visibile all’occhio umano), impedisce l’osservazione di sorgenti remote.
Va inoltre ricordato che la distribuzione dell’intensità della radiazione proveniente da sorgenti stellari segue una curva di Planck (vedi Figura 3), che ha il suo massimo nella banda della luce visibile. In altre parole, non ci sono intensità di radiazione significative in una tipica sorgente stellare che, spostandosi per effetto del redshift, potrebbero influenzare questa banda visibile.
Infatti, sottolineiamo che l’intervallo di radiazione visibile ai nostri occhi è molto piccolo rispetto all’intero spettro di radiazione, come mostrato in Figura 2.
In realtà, il solo redshift spiegherebbe il cielo notturno buio, anche se l’universo fosse infinito e senza ipotizzare un Big Bang. E anche senza espansione, se il redshift osservato avesse una causa diversa.

Figura 2 – spettro completo della radiazione con banda visibile

Figura 3 – Schema di una funzione planckiana della luminosità (intensità della radiazione emessa per unità di angolo solido) per sorgenti stellari con diverse temperature superficiali. Quella del Sole è di circa 5700 K.

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La diffusione di Rayleigh e il cielo blu

Perché il cielo diurno è blu?
Dobbiamo esaminare un tipo di diffusione (scattering) che colpisce i fotoni della radiazione solare quando interagiscono con le molecole che compongono l’atmosfera, ovvero azoto e ossigeno (il 99% dei componenti).
Si tratta della diffusione di Rayleigh (dal nome del premio Nobel John William Strutt Rayleigh, 1842-1919), che colpisce particelle più piccole della lunghezza d’onda della radiazione incidente. Si tratta di una diffusione elastica, quindi la lunghezza d’onda della radiazione stessa non cambia.
Stiamo parlando di fotoni, ma la formula è stata sviluppata sulla base della teoria elettromagnetica classica, non della teoria quantistica (che è stata creata dopo la morte di Rayleigh).

Figura 1 – Dipendenza angolare dello Scattering di Rayleigh
(copyright MLisandra, CC BY-SA 4.0, tramite Wikimedia Commons, qui senza la formula come nell’originale)

Per la spiegazione che stiamo cercando, la formula di scattering di Rayleigh può essere semplificata come segue (vedi anche Figura 1):
[1] I ~ I₀ (1+cos²γ) / λ⁴
dove I è l’intensità della radiazione diffusa, I₀ è l’intensità della radiazione incidente con lunghezza d’onda λ, γ è l’angolo di diffusione della radiazione incidente.

Possiamo vedere immediatamente che l’angolo in cui l’intensità [1] è minima è l’angolo retto ( π/2 ), dove il coseno è zero (vedi Figura 2), il che significa che il cielo è più scuro (il blu è più intenso) a un angolo di 90° rispetto alla direzione del Sole.
Inoltre, la dipendenza dall’inverso della quarta potenza di λ suggerisce che gli effetti per diverse lunghezze d’onda siano significativamente diversi. Infatti, la luce blu viene diffusa molto di più della luce rossa, che ha una lunghezza d’onda maggiore (vedere Figura 3), rendendo il cielo blu. Anche le lunghezze d’onda più corte, come quelle del violetto, sono meno intense all’origine e non contribuiscono in modo significativo.
All’alba e al tramonto, la luce blu viene ampiamente diffusa dallo strato più ampio di atmosfera che attraversa, insieme alla luce gialla e verde, quindi prevale la luce rossa/arancione.

Nel caso di particelle più piccole, vengono considerati la sezione trasversale e l’indice di rifrazione della particella, ma anche se le molecole di gas atmosferico vengono trattate come sorgenti puntiformi, in questo caso gli effetti dipendono dalla loro polarizzabilità dovuta alla radiazione incidente. Chi scatta fotografie utilizzando un filtro polarizzatore conosce bene questo fenomeno: regolando infatti l’effetto del filtro e quindi la polarizzazione, il cielo può addirittura diventare completamente nero a 90° rispetto al Sole, il che può essere creativo ma poco realistico!

Figura 2 – Comportamento della funzione coseno

Figura 3 – banda della radiazione visibile

Vedi anche il mio post Mie scattering and white clouds.

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Luminosità di Eddington e i limiti alla crescita stellare

La luminosità di Eddington ( Lₑ ) (dal nome di Arthur Stanley Eddington, 1882-1944), nota anche come limite di Eddington, è il limite della crescita di una struttura in equilibrio idrostatico (vedere Figura 1), che bilancia la pressione di radiazione verso l’esterno con l’attrazione gravitazionale verso l’interno.

Figure 1 -equilibrio idrostatico

La relazione per il limite di luminosità può essere facilmente ricavata, ottenendo:
[1] L ≤ 4π c G M / k = Lₑ
dove G è la costante gravitazionale universale, M è la massa dell’oggetto, c è la velocità della luce e k è l’opacità (capacità di assorbire la radiazione) del materiale che compone l’oggetto.
In funzione dei parametri solari, nel caso del modello costituito da idrogeno ionizzato, [1] può essere espresso come:
[2] Lₑ ≈ 3,2 * 10⁴ (M/M๏) L๏
dove M๏ e L๏ sono la massa e la luminosità del Sole.

Nel nucleo molto caldo delle stelle massicce (o nei dischi di accrescimento dei buchi neri), l’opacità è indipendente dalla frequenza e dalla temperatura, è correlata a diffusione di Thomson (see Thomson scattering on Wikipedia for more informations) of free electrons, and can be expressed as:
[3] kₑₛ = σₜ nₑ / ρ
dove σₜ è la sezione d’urto di Thomson per gli elettroni, nₑ è la densità numerica degli elettroni e ρ è la densità del mezzo.
Per considerare il caso più generale di modelli costituiti anche da elio e metalli, la relazione generale è espressa come una funzione della frazione di massa (X ) di idrogeno, e la [3] diventa:
[4] kₑₛ = σₜ (1+X) / 2 mₚ ≈ 0,2 (1+X) cm² / gr
dove mₚ è la massa del protone.
Pertanto, nel caso di un modello costituito solo da elio, la luminosità di Eddington raddoppierebbe (con X=0 , [4] è dimezzato e [1] è raddoppiato).
È possibile derivare relazioni anche per casi di modelli che non sono completamente ionizzati o più freddi (per stelle meno massicce) o per radiazioni altamente energetiche (ad esempio, raggi gamma come nei dischi di accrescimento dei buchi neri), ma questi esulano dallo scopo di questo post.

È degno di nota che questo limite fisico spieghi perché non osserviamo stelle infinitamente grandi; oltre un certo limite di massa, la luminosità è tale da disgregare la stella.
La luminosità di Eddington definisce anche la velocità massima a cui un buco nero può crescere: se la materia cade troppo rapidamente, la luce emessa la respinge.

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La legge di Snell e le cause della rifrazione

Ricordiamo la nota legge di Snell, che descrive il fenomeno della rifrazione:
– un raggio di luce subisce una deviazione quando passa da un mezzo trasparente a un altro con un indice di rifrazione diverso (vedi Figura 2).

Figure 1 – Legge di Snell

Figure 2 – Esempio di rifrazione

Matematicamente (vedi Figura 1):
[1] n’ sin(θ’) = n” sin(θ”)
dove n’ , n” sono gli indici di rifrazione dei due mezzi trasparenti, θ’ , θ” sono gli angoli di incidenza e rifrazione (misurati rispetto alla normale all’interfaccia tra i mezzi).
In altre parole, dati due mezzi, il rapporto tra i rispettivi seni degli angoli di incidenza e rifrazione è costante.
Una prima dimostrazione può essere ottenuta applicando il principio del minimo tempo di Pierre de Fermat (1601-1665), ovvero che la luce segue il percorso che richiede il minor tempo per viaggiare da un punto all’altro. Di seguito alleghiamo la semplice dimostrazione geometrico-analitica:

Dimostrazione geometrico-analitica di Fermat_Snell

Bene, questa relazione (forse già studiata nel X secolo dal matematico persiano Ibn Sahl) è certamente interessante, ma qual è la motivazione fisica di questa quantità costante? È necessario identificare dove risiede questa regolarità.
Le ragioni derivano direttamente dalle equazioni di Maxwell, le leggi fondamentali che descrivono l’interazione tra campi elettrici e magnetici.
Da queste, ne consegue che le condizioni al contorno richiedono che le componenti tangenziali del campo elettrico e del campo magnetico siano continue lungo la superficie di separazione. Pertanto, la fase dell’onda incidente (riflessa) e trasmessa deve essere la stessa lungo questo confine.

L’ipotesi che la frequenza ( ν ) della luce incidente rimanga costante (ovvero che sia indipendente dal mezzo in cui si propaga) può essere compresa anche considerando che, se così non fosse, essa perderebbe coerenza attraversando la superficie tra i due mezzi, trasformando probabilmente l’immagine osservata attraverso la superficie di separazione in un colore grigio uniforme, che non viene osservato.
Inoltre, poiché l’energia associata ai fotoni incidenti è E = h ν , dove h è la costante di Planck, la stessa conservazione dell’energia ci dice che la frequenza non può cambiare.
Nota quantistica: questa considerazione si riferisce a un singolo fotone, che cambierebbe colore (verso il rosso) se perdesse energia (fenomeno che non si verifica per tutti i fotoni rifratti osservati). Considerando un fascio di fotoni, tuttavia, può darsi che il secondo mezzo causi l’assorbimento della luce incidente, quindi una diminuzione dell’energia totale, ma questo riguarda l’intero fascio che assorbe completamente alcuni fotoni e non i singoli fotoni.

Considerando i vettori d’onda k’ (incidente) e k” ( rifratto) associati alle rispettive fasi, ed eguagliando le loro proiezioni sull’interfaccia di separazione, otteniamo:
[2] k’ sin(θ’) = k” sin(θ”)
ma k = ω / v , dove ω è la frequenza angolare dell’onda elettromagnetica della luce incidente, v è la velocità nel mezzo, e definendo l’indice di rifrazione n = c / v (derivato dalle costanti ε₀ e μ₀ del mezzo utilizzando le equazioni di Maxwell, dove c = 1/√(ε₀ μ₀) ), da [2] otteniamo infine [1].

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Il teorema di Dedekind: una riconsiderazione della dimostrazione

Ho avuto dei ripensamenti sulla bozza di dimostrazione già pubblicata qui.
Utilizzando un paio di teoremi (chiamati 1.1.3 e 1.1.8, allegati), la dimostrazione diventa molto più semplice e immediata.
Ma credo di essere giustificato nella mia svista, dato che ho studiato questi teoremi così tanto tempo fa che Tim Berners Lee non aveva ancora inventato il www ; )

Brussi 2026_Theorem_1.1.3 and 1.1.8

Brussi 2026_Dedekind theorem 2

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Perché le stelle scintillano di notte e i pianeti no?

Questo fatto, noto da millenni, permette anche al profano di distinguere immediatamente nel cielo notturno uno dei pianeti del Sistema Solare (Venere, Marte, Giove, Saturno) dalle stelle a occhio nudo.
Queste sorgenti luminose, osservate dalla superficie terrestre, mostrano due principali comportamenti caratteristici dovuti alla stessa causa, la turbolenza atmosferica:
– leggere oscillazioni di posizione (apprezzabili con un buon binocolo o un piccolo telescopio)
– scintillio di intensità (tipicamente solo stelle).
Altri effetti, soprattutto quando la sorgente è vicina all’orizzonte, sono: scintillio cromatico (cambiamenti di colore), estinzione atmosferica (diminuzione della luminosità), arrossamento e scintillio dei pianeti.
La turbolenza atmosferica a bassa quota (le prime decine o centinaia di metri) è responsabile delle oscillazioni posizionali, insieme alla turbolenza a media quota (6-8 km) dove si mescolano celle d’aria di diverse temperature e densità, mentre la turbolenza vicino alla tropopausa (8-12 km) associata alle correnti a getto è responsabile della scintillazione.

Sono le dimensioni ottiche delle sorgenti a fare la differenza nella scintillazione, in base alla loro interazione con le celle di turbolenza, che variano anch’esse in dimensioni. Le correnti a getto determinano celle di grandi dimensioni, che vanno da decine a centinaia di metri, ma la turbolenza segue il modello a cascata di Kolmogorov (vedi Figura 1), dissipando l’energia cinetica iniziale in vortici sempre più piccoli, fino all’ordine di centimetri o millimetri, che alla fine si trasformano in calore. Sono proprio queste microcelle a deviare la luce puntiforme proveniente dalle sorgenti stellari, ma hanno un effetto mediato nel caso di sorgenti otticamente più grandi come i pianeti, che coinvolgono più celle. L’effetto finale è la stabilizzazione della luce della sorgente, che quindi appare non scintillante.

Figura 1 – Uno schizzo illustrativo della trasformazione della turbolenza secondo il modello a cascata di Kolmogorov

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Una semplice nota sulla regola della catena nelle equazioni differenziali

La regola della catena nelle equazioni differenziali è un piccolo ma potente trucco spesso utilizzato per derivare funzioni composte calcolando la derivata della funzione esterna mantenendo invariata la funzione interna.
Ad esempio, l’espressione dy/dx può essere riscritta come:
[1] dy/dx = dy/du * du/dx .
In questo modo possiamo ottenere una derivata rispetto a una variabile che è più utile, ad esempio perché ne conosciamo il valore (magari in un’espressione formale più semplice, oppure già noto), oppure è più facile da integrare.
In termini semplici, ciò significa trasformare il tasso di variazione di x rispetto a y nel prodotto del tasso di variazione di u rispetto a y per il tasso di variazione di x rispetto a u.
Per quanto riguarda le regole per la derivazione delle funzioni, la regola della catena porta alla dimostrazione che se F(x) = f(g(x)), la sua derivata è:
[2] F'(x) = f'(g(x) * g'(x) .

Ma mentre questa regola per derivare le funzioni viene usata quotidianamente senza pensarci, la regola della catena può essere un utile trucco per risolvere molti problemi di fisica quando non conosciamo il tasso di variazione diretto tra due variabili.
Un semplice esempio del suo utilizzo in astrofisica è lo studio della formazione stellare e della massa di Jeans (la soglia critica necessaria affinché una nube di gas e polvere interstellare collassi sotto la propria gravità e formi stelle). La regola della catena viene utilizzata per convertire l’accelerazione in una forma che dipende dalla posizione piuttosto che dal tempo, rendendo l’equazione differenziale integrabile. In termini formali, come in [1], possiamo scrivere:
[3] d²R/dt² = dv/dt = dv/dR * dR/dt = v * dv/dR ,
dove v = dR/dt .
In questo caso, questa sostituzione ci permette di integrare l’equazione del moto rispetto al raggio R per determinare il tempo di caduta libera di una nube di gas in collasso (si omette il calcolo, fuori argomento).

Collapsing gas cloud (fonte accademiadellestelle.org)

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Il segno di uguale “=”

Alcune considerazioni per i veri principianti.

Il segno di uguale “=” è un simbolo matematico (coniato dal matematico gallese Robert Recorde nel 1557) formato da due linee orizzontali parallele, usato per indicare che due espressioni hanno lo stesso valore o sono identiche.
Viene insegnato fin dai primi anni della scuola elementare, ma non credo che la forza del suo significato profondo venga spiegata a sufficienza. Almeno, questo è ciò che possiamo vedere dalle difficoltà incontrate dagli studenti un po’ più grandi.

Uguale significa esattamente uguale. Ciò che si trova a sinistra del segno “=” ha lo stesso valore di ciò che si trova a destra. Quindi, se c’è un simbolo a sinistra e un numero a destra, in quel contesto quel simbolo vale esattamente la quantità indicata. E se due simboli sono uguali, possono essere usati in modo intercambiabile. Banale, ma fonte di grandi dubbi per chi non ha afferrato appieno il concetto di base.

Da un punto di vista formale, il segno di uguale soddisfa le seguenti condizioni:
– Proprietà riflessiva: Ogni valore è uguale a se stesso, a = a
– Proprietà simmetrica: se a = b allora b = a (l’ordine delle espressioni può essere scambiato senza cambiare la verità)
– Proprietà transitiva: se a = b e b = c allora a = c
– Proprietà di sostituzione: informalmente, questo significa semplicemente che se a = b , allora a può sostituire b in qualsiasi espressione o formula matematica senza cambiarne il significato; formalmente, per ogni a e b , e qualsiasi formula ϕ(x) con una variabile libera x , se a = b , allora ϕ(a) implica ϕ(b) ; possiamo chiamare questa un’applicazione di funzione.

Anche senza entrare in ulteriori dettagli, queste semplici proprietà ci permettono, ad esempio, di risolvere direttamente equazioni di primo grado. Ci permettono di invertire le formule semplicemente aggiungendo o moltiplicando la stessa quantità su entrambi i lati dell’equazione. Ok, facendo attenzione a non dividere per zero.
Se le quantità incognite (le cosiddette variabili) sono di grado superiore, le cose si complicano, ma l’efficacia di “=” rimane la stessa.
Un piccolo trucco efficace basato su questo è quello di utilizzare nuove variabili per sostituire espressioni più complesse o con potenze superiori.

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