Per profani – Andrea Brussi

Riferimenti per i profani: Cos’è l’energia?

Il grande fisico Richard Feynman (1918-1988) ammise onestamente che nella fisica moderna non abbiamo idea di cosa sia l’energia ‘in sé’. La descrisse come una specie di contabilità magica: nell’universo (o meglio, in un sistema isolato) accadono molte cose, ma alla fine di ogni giornata, se sommiamo certi numeri caratteristici di ciascun evento, il totale è sempre lo stesso. Quel numero che non cambia mai è l’energia. Non viene mai creata né distrutta, ma sempre trasformata.

La risposta scolastica: “L’energia è la capacità di compiere lavoro” (dando per noti i concetti di lavoro, forza, ecc.), è in realtà errata, perché l’energia tende naturalmente a ‘sparpagliarsi’; cioè, predilige il disordine. E come descritto da Ludwig Boltzmann (1844-1906), la misura di questo disordine, chiamata entropia, aumenta sempre in un sistema isolato. Ma poiché l’entropia definisce anche la capacità dell’energia di compiere lavoro, questa capacità diminuisce sempre, mentre invece l’energia si conserva sempre.

Un modo più tecnico di pensare all’energia ci viene da Emmy Noether (1882-1935), che dimostrò che ogni legge di conservazione in fisica deriva da una simmetria: l’energia si conserva perché l’Universo possiede una “simmetria temporale traslazionale”, il che significa che le leggi della fisica rimangono le stesse con il passare del tempo, e la quantità che matematicamente deve rimanere costante è l’energia. In questi termini, si potrebbe dire che l’energia è tempo.

Un modo per calcolare l’energia è quello definito da Einstein (vedi La formula di Einstein per l’energia), anche se non sappiamo di cosa sia fatta. In parole semplici: anche se un oggetto è immobile e minuscolo, nasconde al suo interno una quantità mostruosa di energia grazie alla sua massa (la costante di proporzionalità c² è un numero davvero enorme). E se poi inizia a muoversi a causa di un’azione esterna, quest’energia aumenta.

Conclusione
Potremmo definire l’energia come il ‘motore’ invisibile della realtà. Non possiamo ‘toccarla’, ma essa garantisce che l’universo mantenga i suoi conti in ordine (inclusa la simmetria del tempo). Ogni volta che facciamo qualcosa, o anche solo esistiamo, partecipiamo a questo immenso scambio di ‘gettoni’ che va avanti ‘da sempre’.

Richard Feynman e Emmy Noether

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Il palcoscenico della realtà – Ovvero perché la forza di gravità non è una forza e la velocità della luce non è una velocità

Premessa
Quello che esploreremo l’ho definito il palcoscenico della realtà, ovvero dove ci muoviamo e dove si muove quello che ci circonda (una nota banale a margine è che nulla è ‘fermo’ nel nostro universo, anche perché non c’è un riferimento assoluto rispetto al quale misurare il movimento). Questo palcoscenico è quello che viene chiamato lo spaziotempo, costituito dalle tre abituali dimensioni spaziali più il tempo, che è semplicemente una dimensione aggiuntiva, che non
possiamo ‘visualizzare’ se non immaginando di togliere qualcuna di quelle spaziali (come nei famosi diagrammi di Minkowsky (vedi Figura, Hermann Minkowski 1864-1909).
Fu Alber Einstein (1879-1955) nei suoi geniali lavori di inizio ‘900 che considerò l’universo non come uno spazio vuoto dove il tempo scorre a parte, ma come un unico contesto a quattro dimensioni indissolubilmente legate da una metrica governata dalle leggi della gravitazione. In questo scenario, il tempo non è un orologio esterno, ma una direzione reale in cui ci muoviamo esattamente come ci muoviamo verso nord o verso sud, per dirla in termini geografici.

La gravità
Perché la forza di gravità non è una forza? Per secoli, grazie ad Isaac Newton (1643-1727), abbiamo pensato alla gravità come a una specie di ‘mano invisibile’ che ‘tira’ gli oggetti. Ma se applichiamo quello che Eistein chiamò il principio di equivalenza (e che raccontò come “la più felice intuizione della mia vita”), scopriamo un concetto fondamentale. Immaginò di essere in un ascensore nello spazio profondo, lontano dalla gravitazione,
accelerato verso l’alto (ricordo che l’accelerazione è la variazione di una velocità). Ci si sentirebbe schiacciati al suolo esattamente come sulla Terra. Lasciando libera la leggendaria mela, presa in prestito da Newton, essa ‘cadrà’ verso il pavimento. Eppure, lì non c’è nessuna gravità che ‘tira’: c’è solo accelerazione.
Einstein intuì quindi che la gravità non è una forza che agisce nello spazio, ma l’effetto che osserviamo e chiamiamo forza è la conseguenza della curvatura dello spaziotempo stesso. Infatti la presenza della massa, o meglio della massa-energia, essendo la stessa cosa a meno di un fattore di conversione (la famosa relazione E=mc²), deforma il tessuto dello spaziotempo come un peso su un telo elastico. Ad esempio la Terra, con la sua concentrazione di massa-energia, crea una deformazione geometrica: la mela non cade perché una forza la spinge, ma perché sta semplicemente seguendo la linea più dritta possibile (che si chiama geodetica) in uno spazio che è diventato curvo. Secondo le leggi della dinamica di Newton, un corpo su cui non agiscono forze si muove di moto rettilineo uniforme (e rispetta il principio di inerzia); secondo la relatività, una mela che cade in un campo gravitazionale è, paradossalmente, l’unico oggetto che non subisce alcuna forza (e rispetta il principio di inerzia).
Per citare ancora Einstein: “La materia [o meglio la materia-energia] dice allo spaziotempo come curvarsi, e lo spaziotempo dice alla materia come muoversi.”

La luce
Consideriamo ora la luce. Le attribuiamo una ‘velocità’ (che ricordiamo è la variazione di una posizione), ma come spiega il fisico Leonard Susskind (1940-), non è una velocità nel senso comune del termine (come quella di un’auto). È invece una proprietà fondamentale della geometria dello spazio-tempo, un semplice fattore di conversione tra le coordinate spaziali e quella temporale.
Nell’universo quadridimensionale nel quale esistiamo, spazio e tempo sono direzioni diverse della stessa cosa, e c è il numero che ci dice quanti metri equivalgono a un secondo. Ovvero tempo = spazio diviso la costante c . Il valore della costante universale c è circa 300.000 km al secondo, ovvero un po’ più di un miliardo di km all’ora (circa 1.08 mld Km /h). La suggestione di Susskind è che ogni oggetto nell’universo si muove sempre e costantemente alla stessa identica velocità: c . Ovvero la nota velocità della luce.
– Quando siamo fermi nello spazio, ad esempio sulle sedie su cui siamo seduti, stiamo viaggiando alla velocità della luce lungo l’asse del tempo
– Se iniziamo a muoverci nello spazio, dobbiamo ‘sottrarre’ velocità al tempo compensando il movimento spaziale (come per pagare un contributo utilizzando il fattore di conversione, c ). Da questo deriva la relativistica dilatazione del tempo (es. paradosso dei gemelli).
Non esistono velocità variabili, esiste solo una ripartizione della velocità totale tra le diverse dimensioni. Quindi la luce non sta ‘correndo’: potremmo dire che la luce spende tutta la sua dotazione nello spazio e gli rimane zero per il tempo, in base al fattore di conversione c .
Questa costante, ovvero la velocità della luce, è il limite geometrico di ciò che è possibile che accada nell’universo.

Conclusioni
Non esiste quindi un limite di velocità, esiste solo una geometria globale in cui siamo tutti immersi. La gravità è la curvatura della strada; la costante c tiene insieme il tessuto stesso del reale che ci circonda. La fisica non descrive ‘cosa succede’, ma descrive la struttura geometrica in cui tutto è già contenuto. Capire questo significa smettere di guardare le ‘cose’ che si muovono e iniziare a guardare la forma del palcoscenico su cui si muovono.

Un diagramma di Minkowsky (credits to medium.com)

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Strani oggetti matematici: la bottiglia di Klein

Figura 1 – La bottiglia di Klein

La bottiglia di Klein, o superficie di Klein, dal nome del matematico tedesco Felix Christian Klein (1849-1925) che la descrisse a fine 19° secolo negli anni di sviluppo della topologia*, è un esempio di superficie non orientabile, senza un interno o un esterno distinti, si definisce infatti varietà bidimensionale non orientabile, come il già visto nastro di Möbius, con la differenza importante che non ha bordi.
Si tratta di una specie di bottiglia nella quale il collo si connette al fondo dovendo attraversare la parete della bottiglia stessa come nella Figura 1. Si osserva così in una visualizzazione tridimensionale, ma come altri spazi topologici (che consideriamo sempre euclidei), non è ben visualizzabile in uno spazio ℝ³. Analizzata in ℝ⁴ non ci sono sovrapposizioni (autointersezioni), si capisce che il collo non tocca la parete.

Procedendo con le dimensioni, si può immaginare una varietà tridimensionale non orientabile che non può essere incorporata in ℝ⁴ ma può esserlo in ℝ⁵. Ad esempio, collegando due estremità di uno Spherinder nello stesso modo in cui si collegano le due estremità di un cilindro per una bottiglia di Klein.

Se tagliata a metà, la bottiglia di Klein crea due nastri di Möbius come in Figura 2, ricordando che in realtà l’intersezione non c’è in ℝ⁴.

Figure 2 – Una bottiglia di Klein tagliata a metà dà origine a due nastri di Möbius.(source: wikimedia licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 Int license)

Figure 3 – Un gustoso solido toroidale

La rappresentazione tradizionale (per immersione) della bottiglia di Klein è achirale (ovvero, la sua immagine speculare non può essere distinta dall’oggetto). Il solido della bottiglia di Klein è considerato la versione non orientabile del toro solido (come quello in Figura 3).

Topologia*
La topologia è un’area della matematica che studia le proprietà degli oggetti matematici (delle figure) che che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza ‘buchi’, ‘sovrapposizioni’ o ‘incollature’. Ad esempio un cubo è topologicamente equivalente a una sfera, invece un toro (ciambella) no, perché ha un buco che non si può eliminare con una deformazione.
Per un approfondimento è esauriente la pagina Wikipedia.

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II teorema del viriale e l’equilibrio stellare

Il teorema del viriale costituisce un risultato analitico di fondamentale importanza nella meccanica dei sistemi di particelle, poiché stabilisce una connessione rigorosa tra le medie temporali delle energie cinetica e potenziale. La sua validità si estende a sistemi in equilibrio dinamico, dove le forze interne sono regolate da potenziali che dipendono dalla distanza secondo una legge di potenza, come nel caso della gravitazione universale o dell’elettrostatica.

Brussi 2026_Il teorema del viriale e l’equilibrio stellare

Teorema del viriale

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Pillole di logica: le basi booleane

Il matematico e filosofo George Boole (1815-1864) sviluppò l’associazione tra logica e matematica, analizzando le leggi delle operazioni mentali alla base del ragionamento, esprimendole in un linguaggio simbolico che consentisse agli operatori logici di operare come operatori algebrici, per mezzo di enunciati calcolabili. Creò quella che si definisce l’algebra booleana.

La logica booleana è alla base dell’informatica e dell’elettronica digitale, ed è fondata sulla manipolazione di variabili che possono assumere solo due valori: Vero (1) e Falso (0). Gli operatori logici booleani, di seguito dettagliati, sono applicati come ‘porte logiche’ a dispositivi elettronici, consentendo di costruire le operazioni di base, poi riprodotte a miliardi nei moderni device, per la realizzazione dei computer e degli smartphone che conosciamo. Per precisione si tratta sia di porte fisiche, transistor* nell’hardware, sia di porte non fisiche, nelle istruzioni dei codici dei sistemi operativi e delle applicazioni.

Gli operatori fondamentali sono:
AND Restituisce vero (1) solo se tutti gli ingressi sono veri.
OR (Restituisce vero (1) se almeno uno degli ingressi è vero.
NOT (Negazione): Operatore che inverte il valore di ingresso: 1 diventa 0, e viceversa.

A	B	AND (A*B)	OR (A+B)
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	1

Con gli operatori fondamentali si costruiscono le porte logiche:
NAND (Not-AND): Uscita falsa solo se tutti gli ingressi sono veri.
NOR (Not-OR): Uscita vera solo se tutti gli ingressi sono falsi.
XOR (Exclusive OR): Vero se gli ingressi sono diversi, falso se uguali.

Le combinazioni di queste porte e degli operatori fondamentali con un’algebra che ne consenta l’operatività permette di costruire circuiti digitali e strutture di istruzioni che elaborano e memorizzano dati.

Transistor*

I transistor sono dispositivi costituiti da materiali semiconduttori (es silicio modificato) che si comporta come “interruttore” regolando flussi di corrente sulla base di un segnale di controllo (nel senso che il suo valore determina se il flusso può passare o no).
Stato OFF. Se non c’è segnale sul controllo (valore 0) il transistor blocca il flusso (circuito aperto).
Stato ON. Se c’è segnale sul controllo (valore 1) il transistor consente il flusso (circuito chiuso).
Le porte logiche si possono così costruire:
porta AND: due transistor in serie, la corrente passa solo se entrambi sono ON (1 AND 1 = 1)
porta OR: due transistor in parallelo, la corrente passa se almeno uno dei due è ON (1 OR 0 = 1)
porta NOT: detta inverter, un singolo transistor configurato in modo da scollegare l’uscita (circuito aperto) se riceve il segnale (valore 1).

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Strani oggetti matematici: il nastro di Möbius

Figura 1 – Il nastro di Möbius

Il nastro di Möbius è un oggetto tridimensionale studiato in topologia* con singolari caratteristiche: possiede un’unica faccia e un unico bordo (vedi Figura 1). Si può facilmente realizzare con una striscia di carta di forma rettangolare allungata, unendo i lati corti facendo prima fare mezza rotazione ai lati stessi. Con l’oggetto in mano si verifica immediatamente, anche percorrendoli con un dito, che presenta un’unica faccia e un unico bordo.

Il nome si deve ad August Ferdinand Möbius (1790-1868), che per primo studiò le superfici non orientabili (sulle quali non è possibile distinguere configurazioni positive e negative, un dentro e un fuori) e le superfici rigate (che si possono ottenere con una unione di rette, come il piano, il cilindro, il cono), come questa.

In ℝ³ il nastro è descritto dalle seguenti equazioni parametriche in coordinate cartesiane:

dove r e l sono numeri positivi fissati con r> l (condizione necessaria perché il nastro abbia la possibilità di attorcigliarsi).

Si può dire informalmente che il parametro u è un angolo che ‘gira intorno’
al nastro in senso antiorario, mentre il parametro v ‘si muove da un lato all’altro’ della striscia. Fissati due valori per v , ad esempio v = -1, 1 , si ottengono le curve delle Figure 2 e 3, che sommate delineano il bordo del nastro nella Figura 4. Com’è facile intuire per v = 0 si ottiene una circonferenza, ovvero una curva chiusa a metà del nastro. Curiosamente, tagliando il nastro lungo questa linea mediana non si ottengono due nastri ma un nuovo singolo nastro attorcigliato due volte.

Figure 2 – Curva ottenuta con v=1 (fonte: Riccardo Dossena, UniPV)

Figure 3 – Curva ottenuta con v= -1 (fonte: Riccardo Dossena, UniPV)

Figura 4 – Curva ottenuta dalla somma delle due precedenti, bordo del nastro (fonte: Riccardo Dossena, UniPV)

Definito il bordo, è facile capire come l’insieme di tutte le curve descritte dai due parametri u, v , negli intervalli considerati, possa definire l’intera superficie del nastro.

Si omettono le considerazioni topologiche e si invita a fare degli esperimenti costruendo nastri con due o più rotazioni degli estremi prima della loro saldatura, e tagliando il nastro nella sua metà nei vari casi per vedere i risultati… sorprendenti !

Topologia*
La topologia è un’area della matematica che studia le proprietà degli oggetti matematici (delle figure) che che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza ‘buchi’, ‘sovrapposizioni’ o ‘incollature’. Ad esempio un cubo è topologicamente equivalente a una sfera, invece un toro (ciambella) no, perché ha un buco che non si può eliminare con una deformazione.
Per un approfondimento è esauriente la pagina Wikipedia.

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Strani oggetti matematici: la tromba di Torricelli

Figure 1 – Torricelli trumpet

La tromba di Torricelli è un solido che si ottiene dalla rivoluzione intorno all’asse x della curva di equazione y=1/x nell’intervallo [1, +∞) , vedi Figura 2. Prende il nome da Evangelista Torricelli (1608-1647) che lo studiò nel 17° secolo.
La peculiarità di questo solido è avere volume finito ma area infinita.

Figure 2 – Torricelli trumpet 2D equation (source: maeckes.nl)

Per verificarlo oggi possiamo facilmente utilizzare il calcolo integrale, che non esisteva al tempo di Torricelli.

In un sistema di coordinate (x, y, z) la tromba è descritta dalle equazioni parametriche:
x(ξ,θ) = ξ
y(ξ,θ) = a cos⁡θ / ξ
z(ξ,θ) = a sin⁡θ / ξ

Il volume e l’area si calcolano come segue, dove a > 1 è un valore di x

È quindi evidente che per a → ∞ il volume si avvicini alla quantità finita π , mentre l’area sia divergente.

Questo apparente paradosso tra valori finiti e infiniti relativi allo stesso oggetto, si può facilmente spiegare ‘matematicamente’. Se si considera un barattolo di colore, questo ha sicuramente un volume finito. Se lo si spalma su una superficie, matematicamente lo spessore potrebbe essere infintesimo, quindi potrebbe effettivamente ricoprire una superficie infinita.

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Pillole di logica: Implica (→) non è segue (⇒)

In logica classica* è facile confonderli ma sono cose diverse.
Dati due enunciati dichiarativi a cui si può attribuire un valore di verità, un antecedente P (premessa) e un conseguente C (conclusione), si considera:

P → C (se P allora C) un enunciato con un valore di verità
P ⇒ C (da P segue C) una inferenza: C è deducibile assumendo P.

La differenza cruciale è proprio in questa deducibilità ottenibile nell’inferenza. Invece l’implicazione P → C risulta vera anche quando P è falso. Quindi può accadere che P sia falso, C sia falso, eppure P → C sia vera. In particolare, se P è falso, P → C è vera qualunque sia C. Per questo l’implicazione, da sola, non stabilisce (né dimostra) la verità di C.
Invece da P segue C è legittimo solo quando P è disponibile come ipotesi nel ragionamento: ed è il caso tipico in cui, se P e P → C, allora si può concludere C. Ma se P è falso (o non è assunto), l’implicazione si dice ‘vacuamente vera’ e non autorizza alcuna conclusione su C.

Se e solo se: equivalenza come doppia inferenza
Le proprietà dell’inferenza la rendono molto utile: gran parte delle dimostrazioni matematiche si basa sul se e solo se, che esprime un’equivalenza tra due enunciati A e B.
Dire:
A se e solo se B
significa precisamente dimostrare entrambi i versi:
A ⇒ B (A è sufficiente per B)
B ⇒ A (B è sufficiente per A)
Quando entrambe le inferenze sono valide, A e B sono logicamente equivalenti, quindi hanno lo stesso valore di verità.

Logica classica *

Si usa indicare così quei sistemi logici (i più usati in matematica di base) in cui valgono leggi e regole considerate tradizionali, come:

Principio del terzo escluso: ogni enunciato è o vero o falso (P oppure non-P)
Non contraddizione: non possono essere veri insieme P e non-P
Doppia negazione: negare due volte riporta all’enunciato iniziale
Esplosione (in presenza di contraddizione): da una contraddizione si può derivare qualsiasi conclusione.

Le logiche ‘non classiche’ derivano dal voler rinunciare o modificare qualcuna di queste caratteristiche. A titolo di esempio:

logica intuizionista: non accetta il terzo escluso come regola generale
logiche paraconsistenti: non accettano l’esplosione (tollerano contraddizioni senza far ‘collassare’ tutto)
logiche modali: aggiungono operatori come necessariamente / possibilmente.

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Come funzionano i fulmini

Una spiegazione interessante è fornita nell’eccellente libro di Ottavio Vittori L’atmosfera del pianeta Terra (Zanichelli, 1992), del quale è allegato con le migliori intenzioni il capitolo introduttivo su questo potente fenomeno elettrico.

Vittori 1992_L’atmosfera del pianeta Terra

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Il paradosso di Olbers e il cielo notturno buio

Perché il cielo notturno è buio?
Se l’universo fosse infinito, eterno e statico, come sosteneva Giordano Bruno (1548-1600), e come sosteneva la cosmologia fino all’inizio del XX secolo, aggiungendo che è popolato da stelle in modo omogeneo, il cielo notturno dovrebbe essere luminoso e non buio. Questa contraddizione era già stata notata da Johannes Kepler (1571-1630) nel 1610 nella Dissertatio cum Nuncio Sidereo.
Tuttavia, il principio fu chiaramente formulato nel 1826 da Einrich Wilhelm Olbers (1758-1840), che dimostrò matematicamente (vedi sotto, ragionamento facoltativo che può essere saltato) perché il cielo notturno dovesse brillare, secondo la cosmologia dell’epoca, evidenziando un paradosso rispetto all’osservazione.

Immaginando l’universo come costituito da gusci sferici concentrici rispetto al nostro punto di osservazione (vedi Figura 1), l’intensità della radiazione ricevuta (flusso f ) da una sorgente ( L ) a una distanza ( r ) è inversamente proporzionale al quadrato della distanza:
[1] f = L / 4 π r²
Il numero di sorgenti contenute nel guscio è proporzionale al volume, che aumenta con il quadrato della distanza (con incrementi infinitesimali
dr = R – r (con riferimento alla Figura 1):
[2] dn ∝ dV ≈ 4 π r² dr
Pertanto, gli effetti di [1] e [2] si compensano a vicenda e ogni guscio contribuisce con la stessa intensità, indipendentemente dalla distanza.
L’intensità infinitesimale ( dI ) derivante dal guscio infinitesimale, moltiplicando [1] e [2], è:
[3] dI = f dn = n L dr
Integrando [3] si ottiene l’intensità totale:
[4] I = ∫₀ᴿ n L dr = n L R
Pertanto, per R → ∞ , l’intensità [4] dovrebbe diventare infinita. Quindi c’è qualcosa che non va nel ragionamento (da qui il paradosso).

Figura 1 – schizzo di un guscio sferico

L’osservazione del cielo notturno buio viene spiegata in termini moderni (basandosi sul modello cosmologico standard) perché l’universo esiste da un tempo finito (ipotesi del Big Bang) ed è in espansione (interpretazione del redshift della radiazione proveniente da sorgenti remote).
Nel primo caso, si considera che la luce proveniente da sorgenti remote, che ha una velocità finita, semplicemente non ci abbia ancora raggiunto.

Nel secondo caso, il redshift, ovvero lo spostamento della luce verso lunghezze d’onda maggiori (ad esempio, nella banda dell’infrarosso, oltre l’intervallo visibile all’occhio umano), impedisce l’osservazione di sorgenti remote.
Va inoltre ricordato che la distribuzione dell’intensità della radiazione proveniente da sorgenti stellari segue una curva di Planck (vedi Figura 3), che ha il suo massimo nella banda della luce visibile. In altre parole, non ci sono intensità di radiazione significative in una tipica sorgente stellare che, spostandosi per effetto del redshift, potrebbero influenzare questa banda visibile.
Infatti, sottolineiamo che l’intervallo di radiazione visibile ai nostri occhi è molto piccolo rispetto all’intero spettro di radiazione, come mostrato in Figura 2.
In realtà, il solo redshift spiegherebbe il cielo notturno buio, anche se l’universo fosse infinito e senza ipotizzare un Big Bang. E anche senza espansione, se il redshift osservato avesse una causa diversa.

Figura 2 – spettro completo della radiazione con banda visibile

Figura 3 – Schema di una funzione planckiana della luminosità (intensità della radiazione emessa per unità di angolo solido) per sorgenti stellari con diverse temperature superficiali. Quella del Sole è di circa 5700 K.

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