La formula fisica più famosa del mondo è probabilmente quella di Albert Einstein (1879-1955):
(1) E=mc²
ovvero l’energia di un corpo è uguale alla sua massa per la velocità della luce al quadrato.
Forse non molti l’hanno capita veramente ma sicuramente quasi nessuno (che non abbia fatto studi universitari) conosce la formula completa, che tiene conto sia dei corpi in movimento sia dell’energia di particelle senza massa.
Per i corpi in movimento si deve considerare un fattore moltiplicativo:
(2) E = γ mc²
In base alla relatività speciale dello stesso Einstein (lavoro del 1905), se si considerano ‘particelle’ in movimento nello spaziotempo quadridimensionale, la variazione della loro quantità di moto, detto impulso (p) è espressa dalla formula relativistica del quadrimpulso. Questo è un quadrivettore* nel quale la componente temporale è rappresentata dall’energia e le componenti spaziali dall’impulso. In particolare nel caso di un corpo in movimento la sua inerzia aumenta come nella (2) secondo un fattore proporzionale alla velocità, detto fattore di Lorentz (da Hendrik Lorentz, 1853-1928):
γ = 1 / √ (1-v²/c²)
dove v è la velocità del corpo e c è la velocità della luce.
Come si vede dalla formula e dalla Figura 1 che ne traccia l’andamento, γ aumenta all’aumentare della velocità, ma resta molto prossimo a 1 finché le velocità non siano dell’ordine di grandezza di quella della luce. Per questa ragione in genere si tende a ometterlo, considerando γ ≈ 1 . L’andamento asintotico di γ evidenzia anche la difficoltà dei corpi materiali di accelerare a velocità che si avvicinino a quella della luce, perché la loro inerzia avrebbe un andamento altrettanto asintotico.
Figura 1 (credits: youmath.it)
Ma il quadrimpulso tiene conto anche delle particelle che non hanno massa, come i fotoni. Dall’intuizione di Louis de Broglie (1892-1987), la lunghezza d’onda di un fotone è inversamente proporzionale alla quantità di moto:
λ = h / p
dove h è la costante di Planck. Ricordando che l’energia del fotone si può esprimere come:
E = hc / λ
è immediato ottenere la relazione:
(3) E = pc
La formula completa di Einstein dell’equazione per l’energia è quindi:
(4) E² = (pc)² + (mc²)²
Si può facilmente vedere come, nel caso di un fotone senza massa, la (4) si riduca alla (3), energia del fotone, e nel caso di una particella non in movimento la (4) si riduca alla (1), ovvero l’energia della materia a riposo. Nel caso di un corpo in movimento, si deve tenere conto sia dell’energia dovuta al movimento sia dell’energia a riposo, ovvero la relazione (2).
* Un quadrivettore è un vettore a quattro dimensioni definito nello spaziotempo (relativistico) di Minkowski (Hermann Minkowski 1864-1909). Esso unifica in un unico oggetto matematico una grandezza temporale e le tre grandezze spaziali corrispondenti (ad esempio tempo e spazio, o energia e quantità di moto).
La sua caratteristica fondamentale è che il suo ‘modulo’ (la sua lunghezza) resta invariato per ogni osservatore, garantendo che le leggi della fisica rimangano le stesse anche quando sono osservate da sistemi di riferimento in movimento relativo tra loro.
