In logica classica* è facile confonderli ma sono cose diverse.
Dati due enunciati dichiarativi a cui si può attribuire un valore di verità, un antecedente P (premessa) e un conseguente C (conclusione), si considera:
P → C (se P allora C) un enunciato con un valore di verità
P ⇒ C (da P segue C) una inferenza: C è deducibile assumendo P.
La differenza cruciale è proprio in questa deducibilità ottenibile nell’inferenza. Invece l’implicazione P → C risulta vera anche quando P è falso. Quindi può accadere che P sia falso, C sia falso, eppure P → C sia vera. In particolare, se P è falso, P → C è vera qualunque sia C. Per questo l’implicazione, da sola, non stabilisce (né dimostra) la verità di C.
Invece da P segue C è legittimo solo quando P è disponibile come ipotesi nel ragionamento: ed è il caso tipico in cui, se P e P → C, allora si può concludere C. Ma se P è falso (o non è assunto), l’implicazione si dice ‘vacuamente vera’ e non autorizza alcuna conclusione su C.
Se e solo se: equivalenza come doppia inferenza
Le proprietà dell’inferenza la rendono molto utile: gran parte delle dimostrazioni matematiche si basa sul se e solo se, che esprime un’equivalenza tra due enunciati A e B.
Dire:
A se e solo se B
significa precisamente dimostrare entrambi i versi:
A ⇒ B (A è sufficiente per B)
B ⇒ A (B è sufficiente per A)
Quando entrambe le inferenze sono valide, A e B sono logicamente equivalenti, quindi hanno lo stesso valore di verità.
Logica classica *
Si usa indicare così quei sistemi logici (i più usati in matematica di base) in cui valgono leggi e regole considerate tradizionali, come:
Principio del terzo escluso: ogni enunciato è o vero o falso (P oppure non-P)
Non contraddizione: non possono essere veri insieme P e non-P
Doppia negazione: negare due volte riporta all’enunciato iniziale
Esplosione (in presenza di contraddizione): da una contraddizione si può derivare qualsiasi conclusione.Le logiche ‘non classiche’ derivano dal voler rinunciare o modificare qualcuna di queste caratteristiche. A titolo di esempio:
logica intuizionista: non accetta il terzo escluso come regola generale
logiche paraconsistenti: non accettano l’esplosione (tollerano contraddizioni senza far ‘collassare’ tutto)
logiche modali: aggiungono operatori come necessariamente / possibilmente.
