Figure 1 – Torricelli trumpet
La tromba di Torricelli è un solido che si ottiene dalla rivoluzione intorno all’asse x della curva di equazione y=1/x nell’intervallo [1, +∞) , vedi Figura 2. Prende il nome da Evangelista Torricelli (1608-1647) che lo studiò nel 17° secolo.
La peculiarità di questo solido è avere volume finito ma area infinita.
Figure 2 – Torricelli trumpet 2D equation (source: maeckes.nl)
Per verificarlo oggi possiamo facilmente utilizzare il calcolo integrale, che non esisteva al tempo di Torricelli.
In un sistema di coordinate (x, y, z) la tromba è descritta dalle equazioni parametriche:
x(ξ,θ) = ξ
y(ξ,θ) = a cosθ / ξ
z(ξ,θ) = a sinθ / ξ
Il volume e l’area si calcolano come segue, dove a > 1 è un valore di x
È quindi evidente che per a → ∞ il volume si avvicini alla quantità finita π , mentre l’area sia divergente.
Questo apparente paradosso tra valori finiti e infiniti relativi allo stesso oggetto, si può facilmente spiegare ‘matematicamente’. Se si considera un barattolo di colore, questo ha sicuramente un volume finito. Se lo si spalma su una superficie, matematicamente lo spessore potrebbe essere infintesimo, quindi potrebbe effettivamente ricoprire una superficie infinita.
