Figura 1 – La bottiglia di Klein
La bottiglia di Klein, o superficie di Klein, dal nome del matematico tedesco Felix Christian Klein (1849-1925) che la descrisse a fine 19° secolo negli anni di sviluppo della topologia*, è un esempio di superficie non orientabile, senza un interno o un esterno distinti, si definisce infatti varietà bidimensionale non orientabile, come il già visto nastro di Möbius, con la differenza importante che non ha bordi.
Si tratta di una specie di bottiglia nella quale il collo si connette al fondo dovendo attraversare la parete della bottiglia stessa come nella Figura 1. Si osserva così in una visualizzazione tridimensionale, ma come altri spazi topologici (che consideriamo sempre euclidei), non è ben visualizzabile in uno spazio ℝ³. Analizzata in ℝ⁴ non ci sono sovrapposizioni (autointersezioni), si capisce che il collo non tocca la parete.
Procedendo con le dimensioni, si può immaginare una varietà tridimensionale non orientabile che non può essere incorporata in ℝ⁴ ma può esserlo in ℝ⁵. Ad esempio, collegando due estremità di uno Spherinder nello stesso modo in cui si collegano le due estremità di un cilindro per una bottiglia di Klein.
Se tagliata a metà, la bottiglia di Klein crea due nastri di Möbius come in Figura 2, ricordando che in realtà l’intersezione non c’è in ℝ⁴.
Figure 2 – Una bottiglia di Klein tagliata a metà dà origine a due nastri di Möbius.(source: wikimedia licensed under the Creative Commons Attribution 4.0 Int license)
Figure 3 – Un gustoso solido toroidale
La rappresentazione tradizionale (per immersione) della bottiglia di Klein è achirale (ovvero, la sua immagine speculare non può essere distinta dall’oggetto). Il solido della bottiglia di Klein è considerato la versione non orientabile del toro solido (come quello in Figura 3).
Topologia*
La topologia è un’area della matematica che studia le proprietà degli oggetti matematici (delle figure) che che non cambiano quando viene effettuata una deformazione senza ‘buchi’, ‘sovrapposizioni’ o ‘incollature’. Ad esempio un cubo è topologicamente equivalente a una sfera, invece un toro (ciambella) no, perché ha un buco che non si può eliminare con una deformazione.
Per un approfondimento è esauriente la pagina Wikipedia.
