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Ricordiamo la nota legge di Snell, che descrive il fenomeno della rifrazione:
– un raggio di luce subisce una deviazione quando passa da un mezzo trasparente a un altro con un indice di rifrazione diverso (vedi Figura 2).

Figure 1 – Legge di Snell

Figure 2 – Esempio di rifrazione

Matematicamente (vedi Figura 1):
[1] n’ sin(θ’) = n” sin(θ”)
dove n’ , n” sono gli indici di rifrazione dei due mezzi trasparenti, θ’ , θ” sono gli angoli di incidenza e rifrazione (misurati rispetto alla normale all’interfaccia tra i mezzi).
In altre parole, dati due mezzi, il rapporto tra i rispettivi seni degli angoli di incidenza e rifrazione è costante.
Una prima dimostrazione può essere ottenuta applicando il principio del minimo tempo di Pierre de Fermat (1601-1665), ovvero che la luce segue il percorso che richiede il minor tempo per viaggiare da un punto all’altro. Di seguito alleghiamo la semplice dimostrazione geometrico-analitica:

    Dimostrazione geometrico-analitica di Fermat_Snell

Bene, questa relazione (forse già studiata nel X secolo dal matematico persiano Ibn Sahl) è certamente interessante, ma qual è la motivazione fisica di questa quantità costante? È necessario identificare dove risiede questa regolarità.
Le ragioni derivano direttamente dalle equazioni di Maxwell, le leggi fondamentali che descrivono l’interazione tra campi elettrici e magnetici.
Da queste, ne consegue che le condizioni al contorno richiedono che le componenti tangenziali del campo elettrico e del campo magnetico siano continue lungo la superficie di separazione. Pertanto, la fase dell’onda incidente (riflessa) e trasmessa deve essere la stessa lungo questo confine.

L’ipotesi che la frequenza ( ν ) della luce incidente rimanga costante (ovvero che sia indipendente dal mezzo in cui si propaga) può essere compresa anche considerando che, se così non fosse, essa perderebbe coerenza attraversando la superficie tra i due mezzi, trasformando probabilmente l’immagine osservata attraverso la superficie di separazione in un colore grigio uniforme, che non viene osservato.
Inoltre, poiché l’energia associata ai fotoni incidenti è E = h ν , dove h è la costante di Planck, la stessa conservazione dell’energia ci dice che la frequenza non può cambiare.
Nota quantistica: questa considerazione si riferisce a un singolo fotone, che cambierebbe colore (verso il rosso) se perdesse energia (fenomeno che non si verifica per tutti i fotoni rifratti osservati). Considerando un fascio di fotoni, tuttavia, può darsi che il secondo mezzo causi l’assorbimento della luce incidente, quindi una diminuzione dell’energia totale, ma questo riguarda l’intero fascio che assorbe completamente alcuni fotoni e non i singoli fotoni.

Considerando i vettori d’onda k’ (incidente) e k” ( rifratto) associati alle rispettive fasi, ed eguagliando le loro proiezioni sull’interfaccia di separazione, otteniamo:
[2] k’ sin(θ’) = k” sin(θ”)
ma k = ω / v , dove ω è la frequenza angolare dell’onda elettromagnetica della luce incidente, v è la velocità nel mezzo, e definendo l’indice di rifrazione n = c / v (derivato dalle costanti ε₀ e μ₀ del mezzo utilizzando le equazioni di Maxwell, dove c = 1/√(ε₀ μ₀) ), da [2] otteniamo infine [1].

Archimede di Siracusa (287-212) fu forse uno dei più grandi geni matematici dell’umanità. È ricordato per il principio della spinta idrostatica, la pompa a vite e le macchine da guerra, ma i suoi studi più avanzati riguardarono le coniche e i metodi matematici per il calcolo di superfici e volumi (ad esempio, della sfera). Questi sono considerati tra i più alti traguardi della scienza antica e, sebbene privi del rigore formale moderno, rappresentano i diretti precursori del concetto di limite e del calcolo integrale (sviluppati indipendentemente da Sir Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz alla fine del XVII secolo). Si veda, ad esempio, Lucio Russo, Archimede: un grande scienziato antico (Carocci Editore, 2019).

Un giorno, mio ​​figlio da bambino mi chiese: “Perché le navi, che sono pesanti e fatte di ferro, galleggiano?”. Non potevo spiegargli la densità dell’acqua, ma trovai una risposta adatta a un bambino: “Perché pesano di meno dell’acqua che spostano”.
Questo è esattamente il principio di Archimede sulla spinta idrostatica, che in termini più complessi si esprime come: “Un corpo immerso in un fluido subisce una spinta verso l’alto pari al peso del volume di fluido spostato”. Quindi, se questa è maggiore del peso del corpo, galleggia.

Possiamo esprimere il principio di Archimede della spinta idrostatica (forza) F(A) utilizzando la seguente formula:
[1] F(A) = m * g = ρ(fluido) * V(spostato) * g
dove m = ρ * V è la massa, g l’accelerazione di gravità, ρ rappresenta la densità e V rappresenta il volume di fluido spostato dal corpo.
Per questo motivo, qualsiasi corpo “pesa” anche in base alla densità del fluido in cui è immerso. Maggiore è la densità, maggiore è la spinta idrostatica e minore è il peso del corpo
Come esempio, se un chiodo di ferro (che, per la sua forma, non sembra in grado di galleggiare come una nave spostando molto fluido) fosse immerso in un contenitore con mercurio liquido, che ha una densità quasi doppia di quella del ferro, il chiodo galleggerebbe a un’altezza pari al peso del mercurio spostato. I calcoli mostrano che sarebbe immerso per poco più della metà del suo volume (circa il 58%).

In questo video possiamo vedere come un’incudine di ferro galleggia nel mercurio perché la densità del ferro ( 7,87 g/cm³ ) è quasi la metà di quella del mercurio ( 13,55 g/cm³ ) (fonte: Wonder of science sul canale X).

Un altro famoso esempio di galleggiamento è quello delle mongolfiere: galleggiano esattamente come una nave perché il volume di fluido (aria atmosferica) che spostano pesa di più (è più denso) di quello contenuto nel pallone, che viene riscaldato con un bruciatore (ed è quindi meno denso).

Mongolfiera (source: freedome.it)