Ricordiamo la nota legge di Snell, che descrive il fenomeno della rifrazione:
– un raggio di luce subisce una deviazione quando passa da un mezzo trasparente a un altro con un indice di rifrazione diverso (vedi Figura 2).
Figure 1 – Legge di Snell
Figure 2 – Esempio di rifrazione
Matematicamente (vedi Figura 1):
[1] n’ sin(θ’) = n” sin(θ”)
dove n’ , n” sono gli indici di rifrazione dei due mezzi trasparenti, θ’ , θ” sono gli angoli di incidenza e rifrazione (misurati rispetto alla normale all’interfaccia tra i mezzi).
In altre parole, dati due mezzi, il rapporto tra i rispettivi seni degli angoli di incidenza e rifrazione è costante.
Una prima dimostrazione può essere ottenuta applicando il principio del minimo tempo di Pierre de Fermat (1601-1665), ovvero che la luce segue il percorso che richiede il minor tempo per viaggiare da un punto all’altro. Di seguito alleghiamo la semplice dimostrazione geometrico-analitica:
Dimostrazione geometrico-analitica di Fermat_Snell
Bene, questa relazione (forse già studiata nel X secolo dal matematico persiano Ibn Sahl) è certamente interessante, ma qual è la motivazione fisica di questa quantità costante? È necessario identificare dove risiede questa regolarità.
Le ragioni derivano direttamente dalle equazioni di Maxwell, le leggi fondamentali che descrivono l’interazione tra campi elettrici e magnetici.
Da queste, ne consegue che le condizioni al contorno richiedono che le componenti tangenziali del campo elettrico e del campo magnetico siano continue lungo la superficie di separazione. Pertanto, la fase dell’onda incidente (riflessa) e trasmessa deve essere la stessa lungo questo confine.
L’ipotesi che la frequenza ( ν ) della luce incidente rimanga costante (ovvero che sia indipendente dal mezzo in cui si propaga) può essere compresa anche considerando che, se così non fosse, essa perderebbe coerenza attraversando la superficie tra i due mezzi, trasformando probabilmente l’immagine osservata attraverso la superficie di separazione in un colore grigio uniforme, che non viene osservato.
Inoltre, poiché l’energia associata ai fotoni incidenti è E = h ν , dove h è la costante di Planck, la stessa conservazione dell’energia ci dice che la frequenza non può cambiare.
Nota quantistica: questa considerazione si riferisce a un singolo fotone, che cambierebbe colore (verso il rosso) se perdesse energia (fenomeno che non si verifica per tutti i fotoni rifratti osservati). Considerando un fascio di fotoni, tuttavia, può darsi che il secondo mezzo causi l’assorbimento della luce incidente, quindi una diminuzione dell’energia totale, ma questo riguarda l’intero fascio che assorbe completamente alcuni fotoni e non i singoli fotoni.
Considerando i vettori d’onda k’ (incidente) e k” ( rifratto) associati alle rispettive fasi, ed eguagliando le loro proiezioni sull’interfaccia di separazione, otteniamo:
[2] k’ sin(θ’) = k” sin(θ”)
ma k = ω / v , dove ω è la frequenza angolare dell’onda elettromagnetica della luce incidente, v è la velocità nel mezzo, e definendo l’indice di rifrazione n = c / v (derivato dalle costanti ε₀ e μ₀ del mezzo utilizzando le equazioni di Maxwell, dove c = 1/√(ε₀ μ₀) ), da [2] otteniamo infine [1].
