Le mie ricerche scientifiche ed epistemologiche
Ho avuto dei ripensamenti sulla bozza di dimostrazione già pubblicata qui.
Utilizzando un paio di teoremi (chiamati 1.1.3 e 1.1.8, allegati), la dimostrazione diventa molto più semplice e immediata.
Ma credo di essere giustificato nella mia svista, dato che ho studiato questi teoremi così tanto tempo fa che Tim Berners Lee non aveva ancora inventato il www ; )
Brussi 2026_Theorem_1.1.3 and 1.1.8
Brussi 2026_Dedekind theorem 2
Questo fatto, noto da millenni, permette anche al profano di distinguere immediatamente nel cielo notturno uno dei pianeti del Sistema Solare (Venere, Marte, Giove, Saturno) dalle stelle a occhio nudo.
Queste sorgenti luminose, osservate dalla superficie terrestre, mostrano due principali comportamenti caratteristici dovuti alla stessa causa, la turbolenza atmosferica:
– leggere oscillazioni di posizione (apprezzabili con un buon binocolo o un piccolo telescopio)
– scintillio di intensità (tipicamente solo stelle).
Altri effetti, soprattutto quando la sorgente è vicina all’orizzonte, sono: scintillio cromatico (cambiamenti di colore), estinzione atmosferica (diminuzione della luminosità), arrossamento e scintillio dei pianeti.
La turbolenza atmosferica a bassa quota (le prime decine o centinaia di metri) è responsabile delle oscillazioni posizionali, insieme alla turbolenza a media quota (6-8 km) dove si mescolano celle d’aria di diverse temperature e densità, mentre la turbolenza vicino alla tropopausa (8-12 km) associata alle correnti a getto è responsabile della scintillazione.
Sono le dimensioni ottiche delle sorgenti a fare la differenza nella scintillazione, in base alla loro interazione con le celle di turbolenza, che variano anch’esse in dimensioni. Le correnti a getto determinano celle di grandi dimensioni, che vanno da decine a centinaia di metri, ma la turbolenza segue il modello a cascata di Kolmogorov (vedi Figura 1), dissipando l’energia cinetica iniziale in vortici sempre più piccoli, fino all’ordine di centimetri o millimetri, che alla fine si trasformano in calore. Sono proprio queste microcelle a deviare la luce puntiforme proveniente dalle sorgenti stellari, ma hanno un effetto mediato nel caso di sorgenti otticamente più grandi come i pianeti, che coinvolgono più celle. L’effetto finale è la stabilizzazione della luce della sorgente, che quindi appare non scintillante.
Figura 1 – Uno schizzo illustrativo della trasformazione della turbolenza secondo il modello a cascata di Kolmogorov
La regola della catena nelle equazioni differenziali è un piccolo ma potente trucco spesso utilizzato per derivare funzioni composte calcolando la derivata della funzione esterna mantenendo invariata la funzione interna.
Ad esempio, l’espressione dy/dx può essere riscritta come:
[1] dy/dx = dy/du * du/dx .
In questo modo possiamo ottenere una derivata rispetto a una variabile che è più utile, ad esempio perché ne conosciamo il valore (magari in un’espressione formale più semplice, oppure già noto), oppure è più facile da integrare.
In termini semplici, ciò significa trasformare il tasso di variazione di x rispetto a y nel prodotto del tasso di variazione di u rispetto a y per il tasso di variazione di x rispetto a u.
Per quanto riguarda le regole per la derivazione delle funzioni, la regola della catena porta alla dimostrazione che se F(x) = f(g(x)), la sua derivata è:
[2] F'(x) = f'(g(x) * g'(x) .
Ma mentre questa regola per derivare le funzioni viene usata quotidianamente senza pensarci, la regola della catena può essere un utile trucco per risolvere molti problemi di fisica quando non conosciamo il tasso di variazione diretto tra due variabili.
Un semplice esempio del suo utilizzo in astrofisica è lo studio della formazione stellare e della massa di Jeans (la soglia critica necessaria affinché una nube di gas e polvere interstellare collassi sotto la propria gravità e formi stelle). La regola della catena viene utilizzata per convertire l’accelerazione in una forma che dipende dalla posizione piuttosto che dal tempo, rendendo l’equazione differenziale integrabile. In termini formali, come in [1], possiamo scrivere:
[3] d²R/dt² = dv/dt = dv/dR * dR/dt = v * dv/dR ,
dove v = dR/dt .
In questo caso, questa sostituzione ci permette di integrare l’equazione del moto rispetto al raggio R per determinare il tempo di caduta libera di una nube di gas in collasso (si omette il calcolo, fuori argomento).
Collapsing gas cloud (fonte accademiadellestelle.org)
Alcune considerazioni per i veri principianti.
Il segno di uguale “=” è un simbolo matematico (coniato dal matematico gallese Robert Recorde nel 1557) formato da due linee orizzontali parallele, usato per indicare che due espressioni hanno lo stesso valore o sono identiche.
Viene insegnato fin dai primi anni della scuola elementare, ma non credo che la forza del suo significato profondo venga spiegata a sufficienza. Almeno, questo è ciò che possiamo vedere dalle difficoltà incontrate dagli studenti un po’ più grandi.
Uguale significa esattamente uguale. Ciò che si trova a sinistra del segno “=” ha lo stesso valore di ciò che si trova a destra. Quindi, se c’è un simbolo a sinistra e un numero a destra, in quel contesto quel simbolo vale esattamente la quantità indicata. E se due simboli sono uguali, possono essere usati in modo intercambiabile. Banale, ma fonte di grandi dubbi per chi non ha afferrato appieno il concetto di base.
Da un punto di vista formale, il segno di uguale soddisfa le seguenti condizioni:
– Proprietà riflessiva: Ogni valore è uguale a se stesso, a = a
– Proprietà simmetrica: se a = b allora b = a (l’ordine delle espressioni può essere scambiato senza cambiare la verità)
– Proprietà transitiva: se a = b e b = c allora a = c
– Proprietà di sostituzione: informalmente, questo significa semplicemente che se a = b , allora a può sostituire b in qualsiasi espressione o formula matematica senza cambiarne il significato; formalmente, per ogni a e b , e qualsiasi formula ϕ(x) con una variabile libera x , se a = b , allora ϕ(a) implica ϕ(b) ; possiamo chiamare questa un’applicazione di funzione.
Anche senza entrare in ulteriori dettagli, queste semplici proprietà ci permettono, ad esempio, di risolvere direttamente equazioni di primo grado. Ci permettono di invertire le formule semplicemente aggiungendo o moltiplicando la stessa quantità su entrambi i lati dell’equazione. Ok, facendo attenzione a non dividere per zero.
Se le quantità incognite (le cosiddette variabili) sono di grado superiore, le cose si complicano, ma l’efficacia di “=” rimane la stessa.
Un piccolo trucco efficace basato su questo è quello di utilizzare nuove variabili per sostituire espressioni più complesse o con potenze superiori.
Una bozza scritta in italiano dimostra l’esistenza e l’unicità di un elemento che separa due insiemi non vuoti che rappresentano il campo dei numeri reali.
Questo ci permette di dimostrare che i numeri reali sono uno spazio completo (ovvero che ogni successione di Cauchy è convergente).
Nota: nel caso dei numeri irrazionali anziché dei numeri razionali, non funziona perché non sono completi, ovvero non è possibile definire un elemento che sia un estremo.
In parole povere, si potrebbe dire che se i numeri razionali vengono rimossi dai numeri reali per ottenere numeri irrazionali, allora rimangono delle “lacune” e la completezza non esiste più.
aggiornamento: una riconsiderazione della dimostrazione
Brussi 2026_Teorema di Dedekind
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Archimede di Siracusa (287-212) fu forse uno dei più grandi geni matematici dell’umanità. È ricordato per il principio della spinta idrostatica, la pompa a vite e le macchine da guerra, ma i suoi studi più avanzati riguardarono le coniche e i metodi matematici per il calcolo di superfici e volumi (ad esempio, della sfera). Questi sono considerati tra i più alti traguardi della scienza antica e, sebbene privi del rigore formale moderno, rappresentano i diretti precursori del concetto di limite e del calcolo integrale (sviluppati indipendentemente da Sir Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz alla fine del XVII secolo). Si veda, ad esempio, Lucio Russo, Archimede: un grande scienziato antico (Carocci Editore, 2019).
Un giorno, mio figlio da bambino mi chiese: “Perché le navi, che sono pesanti e fatte di ferro, galleggiano?”. Non potevo spiegargli la densità dell’acqua, ma trovai una risposta adatta a un bambino: “Perché pesano di meno dell’acqua che spostano”.
Questo è esattamente il principio di Archimede sulla spinta idrostatica, che in termini più complessi si esprime come: “Un corpo immerso in un fluido subisce una spinta verso l’alto pari al peso del volume di fluido spostato”. Quindi, se questa è maggiore del peso del corpo, galleggia.
Possiamo esprimere il principio di Archimede della spinta idrostatica (forza) F(A) utilizzando la seguente formula:
[1] F(A) = m * g = ρ(fluido) * V(spostato) * g
dove m = ρ * V è la massa, g l’accelerazione di gravità, ρ rappresenta la densità e V rappresenta il volume di fluido spostato dal corpo.
Per questo motivo, qualsiasi corpo “pesa” anche in base alla densità del fluido in cui è immerso. Maggiore è la densità, maggiore è la spinta idrostatica e minore è il peso del corpo
Come esempio, se un chiodo di ferro (che, per la sua forma, non sembra in grado di galleggiare come una nave spostando molto fluido) fosse immerso in un contenitore con mercurio liquido, che ha una densità quasi doppia di quella del ferro, il chiodo galleggerebbe a un’altezza pari al peso del mercurio spostato. I calcoli mostrano che sarebbe immerso per poco più della metà del suo volume (circa il 58%).
In questo video possiamo vedere come un’incudine di ferro galleggia nel mercurio perché la densità del ferro ( 7,87 g/cm³ ) è quasi la metà di quella del mercurio ( 13,55 g/cm³ ) (fonte: Wonder of science sul canale X).
Un altro famoso esempio di galleggiamento è quello delle mongolfiere: galleggiano esattamente come una nave perché il volume di fluido (aria atmosferica) che spostano pesa di più (è più denso) di quello contenuto nel pallone, che viene riscaldato con un bruciatore (ed è quindi meno denso).
Mongolfiera (source: freedome.it)
Le prime misurazioni osservative sulla legge di caduta dei gravi furono effettuate da Galileo Galilei (1564-1642).
La famosa legge, considerando la distanza d percorsa durante la caduta, è:
[1] d = g t² / 2
dove g è una costante che rappresenta l’accelerazione gravitazionale locale (sulla Terra il valore medio è g = 9,8 m/s² ) e t è il tempo trascorso. In termini più facilmente osservabili, il tempo di caduta può essere misurato invertendo la relazione [1]:
[2] t = √(2d/g) .
Galileo predisse (ispirandosi a quanto Domingo de Soto aveva già concepito nel 1551) che tutti i corpi seguono questa legge indipendentemente dalla loro massa, studiando le sfere che rotolano (piuttosto che lasciarle cadere dalla famosa Torre di Pisa). Tuttavia, l’esperienza quotidiana ci dice che i corpi leggeri cadono più lentamente: ciò è semplicemente dovuto all’attrito del fluido in cui sono immersi (ad esempio, l’aria).
Si racconta che sulla Luna sia stato condotto un esperimento piuttosto costoso, in cui un martello e una piuma vennero lasciati cadere e toccarono terra contemporaneamente (astronauta David Scott il 2 agosto 1971).
Propongo il seguente esperimento più economico: lasciate cadere, piatta, di faccia, una moneta non troppo piccola, ad esempio una moneta da 2 euro, appoggiandoci sopra un piccolo pezzo di carta, ad esempio di 5 mm di diametro. Un’altezza ottimale potrebbe essere mezzo metro. Potete osservare che il pezzo di carta tocca terra contemporaneamente alla moneta, che impedisce all’aria di rallentarlo.
Potreste anche mettere il pezzo di carta in un contenitore trasparente e poi lasciarlo cadere, ma questa osservazione sarebbe meno evidente.
Come nota a margine, si può osservare che un corpo in caduta libera accelera fino a quando questa accelerazione eguaglia l’accelerazione di gravità, a causa della massa del corpo (tipicamente la Terra) su cui sta cadendo (eventualmente rallentata dalla resistenza dell’aria, nota come forza di resistenza aerodinamica). Una volta raggiunto questo valore, la velocità di caduta, nota come velocità terminale, rimane costante. Al contrario, un corpo che cade nel vuoto non raggiunge mai la velocità terminale perché non c’è resistenza; accelera indefinitamente finché cade.
Di notte, tutti sanno che il Nord è approssimativamente indicato dalla Stella Polare, che è facile da individuare utilizzando il noto asterismo del Grande Carro (e/o del Piccolo Carro, un po’ meno evidente), vedi Figura 1.
Figura 1
Durante il giorno, tuttavia, la direzione più semplice da individuare è il Sud, che viene indicato con precisione dal Sole nel suo punto più alto a mezzogiorno in ogni giorno dell’anno. Senza dover attendere la culminazione, conoscendo l’ora, è possibile stimare la direzione del Sud sommando alla direzione del Sole in quel momento (nell’emisfero settentrionale, a destra al mattino e a sinistra nel pomeriggio) l’angolo che manca per raggiungere mezzogiorno, considerando 15° per ogni ora mancante (una rotazione completa della Terra di 360° divisa per 24 ore = 15°).
Vedere la Figura 2 per alcuni riferimenti pratici per la stima degli angoli nel cielo.
L’altezza in gradi del Sole sull’orizzonte nel suo punto culminante è utilizzata da migliaia di anni per determinare la latitudine dell’osservatore. Eratostene di Cirene (276-194) la utilizzò per calcolare la circonferenza della Terra in un modo era efficace per le conoscenze dell’epoca.
E ancora, grazie alla conoscenza dell’esatto tempo “universale”, è possibile determinare la longitudine convertendo in gradi la differenza in ore/minuti tra l’ora locale di culminazione del Sole e l’ora di culminazione alla longitudine zero, presa come riferimento, al meridiano di Greenwich. Ovviamente, a est di questo meridiano, la culminazione sarà anticipata, mentre a ovest sarà posticipata.
Anche questo principio è noto da secoli. Tuttavia, fu possibile sfruttarlo solo quando furono costruiti orologi di sufficiente precisione e affidabilità (all’inizio del XVIII secolo, principalmente grazie a John Harrison, si veda ad esempio Longitude, Dava Sobel, Walker Publishing Company, 1995).
Per ottenere misurazioni accurate, sono ovviamente necessari strumenti di precisione come il sestante (oltre al GPS disponibile oggi in ogni cellulare!), ma per una stima approssimativa, quanto sopra è sufficiente.
Figura 2 – Facile riferimento per misurare gli angoli nel cielo (fonte: Nightwatch, Terence Dickinson)
Le posizioni e le dimensioni degli oggetti cosmologici osservati come proiettati su una sfera di sfondo vengono misurate in gradi, partendo da orientamenti di riferimento. Questa breve nota mira a mettere in luce le “misurazioni” osservative di alcuni oggetti cosmologici, misurazioni che raramente vengono prese in considerazione.
Immaginiamo una semplice osservazione del cielo notturno a occhio nudo…
Un’idea approssimativa delle misure in gradi può essere ottenuta dalla Figura 1. Altri riferimenti sono le misurazioni del Sole e della Luna, entrambe di circa 0,5° (ecco perché abbiamo le eclissi solari totali).
Poiché non sono visibili ‘a colpo d’occhio’ perché non sono molto luminosi, non ci rendiamo conto che alcuni oggetti cosmologici sono in realtà ‘grandi’ nel cielo.
Figura 1 – Facile riferimento per misurare gli angoli nel cielo (fonta: Nightwatch, Terence Dickinson)
Ad esempio:- la galassia di Andromeda (Figura 2) misura circa 3° x 1° (quindi è 6 volte la dimensione della Luna)
Figure 2 – Galassia di Andromeda (fonte: Westend61 via Getty Images)
– la Nebulosa di Orione (Figura 3, la regione di formazione stellare più vicina a noi nella nostra galassia, a circa 1350 anni luce di distanza) misura circa 1° x 1° (ovvero, il doppio delle dimensioni della Luna)
Figure 3 – Nebulosa di Orione (fonte: NASA/ESA’s Hubble Space Telescope)
– La Grande Nube di Magellano (Figura 4, visibile nell’emisfero australe) misura circa 11° x 9° (vale a dire, è 22 volte più larga della Luna).
Figure 4 – Grande Nube di Magellano (fonte: Spitzer Space Telescope by NASA)
– La cometa di Halley (Figura 5), che è passata nel 1986 (e passerà di nuovo nel 2061), misurava un massimo di 15° (ovvero 30 volte la larghezza della Luna).
Figure 5 – Cometa di Halley (fonte: W. Liller, Easter Island, part of the International Halley Watch IHW)
Per fare un confronto con i pianeti vicini del nostro sistema solare:
– Giove (il cui diametro è circa 11 volte quello della Terra) può raggiungere un massimo di 50″ (ovvero solo 1/36 della larghezza della Luna)
– Saturno (il cui diametro è circa 9,5 volte quello della Terra) può raggiungere un massimo di 20″.
Crediti: Materiale didattico per il corso di Astronomia Sferica e Pratica, Prof. Enrico Maria Corsini (Università di Padova)
