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Capire le misure : 2 – Sistema solare

Secondo episodio degli approfondimenti sulle misurazioni dell’universo che ci circonda. Il primo episodio riguardava la Terra e la Luna.
Questo episodio riguarda il Sistema Solare, ovvero i corpi celesti che orbitano attorno al Sole, la nostra stella.

I pianeti classificati come tali sono, in ordine crescente di raggio orbitale: Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove, Saturno, Urano, Nettuno (vedi Figura 1). Oltre a questi corpi principali, ce ne sono molti secondari, come pianeti nani, lune, asteroidi e comete, ma ci concentreremo solo sui principali.

Figure 1 -Disegno della sequenza dei pianeti del Sistema solare

Sistema solare

Sin da Keplero (1571-1630) sappiamo che le orbite dei pianeti sono ellissi (vedi Figura 2), con il Sole situato in uno dei fuochi. In realtà, l’eccentricità (ovvero a – b con riferimento alla Figura 2) è piuttosto bassa, circa il 3% per la Terra e modesta per tutti i pianeti tranne Mercurio. Anche altri corpi celesti che orbitano nel Sistema Solare, come gli asteroidi (‘rocce’ più grandi che misurano poche centinaia di chilometri), mostrano un’eccentricità significativa (che misura quanto la loro orbita devia da una circonferenza). Per semplicità, considereremo le orbite circolari quindi con un singolo raggio.

Figura 2 – Un’ellisse è una curva piana che circonda due punti focali, tale che per tutti i punti sulla curva, la somma di entrambe le distanze dai due punti focali è una costante (FP + PF’ = costante per ogni P sulla curva); in questo esempio, l’eccentricità è molto grande, mentre per i pianeti è molto più piccola; i punti F sono chiamati fuochi, a è il semiasse maggiore, b è il semiasse minore.

Ellisse

Non elencheremo tutte le misure di questi oggetti, ma solo alcune di riferimento. È importante comprendere la necessità di cambiare la scala di riferimento, passando a una più grande: non possiamo più usare il pallone da calcio del post precedente. Ora immaginiamo la Terra come un minuscolo granello di sabbia fine (0,09 mm) e la sua distanza dal Sole come 1 metro (il raggio della sua orbita, solitamente chiamato unità astronomica, UA). Su questa scala, il pianeta più vicino al Sole è Mercurio (con un raggio 0,38 quello della Terra), a circa 38 cm. Marte (con un raggio 0,52 quello della Terra) orbita a circa 1,5 m; i giganti gassosi Giove (raggio 11 volte quello della Terra, ovvero 0,9 mm sulla scala adottata) a circa 5 m, e Saturno (raggio 9,5 volte quello della Terra) a circa 9,5 m. Urano e Nettuno sono molto lontani, rispettivamente a circa 19 m e 30 m. Vedere la Figura 3 per un diagramma in scala.

Figure 3 – Diagramma in scala delle distanze nel Sistema solare

Distanze nel Sistema solare

Ma a cosa corrisponde questo metro di distanza, preso come riferimento per l’orbita terrestre? Circa 149 milioni di km, una distanza che un’auto a 100 km/h percorrerebbe in circa 170 anni. La luce, che viaggia a 300.000 km/s (oltre 1 miliardo di km/h), impiega circa 8 minuti per andare dal Sole alla Terra e più di 4 ore per raggiungere Nettuno.
E quanto è grande il Sole? Il suo raggio è di circa 670.000 km, quindi, rispetto alla Terra come modello di pallone da calcio, sarebbe una sfera con un raggio di 11,60 m, all’incirca il volume di un edificio di cinque piani di 400 metri quadrati per piano. Rispetto alla Terra come modello di granello di sabbia fine, il Sole sarebbe un “granello” di quasi 1 cm (9,3 mm).

La Terra ha una grande luna, la Luna; Marte ne ha due piccole, Fobos e Deimos. Giove ha quattro lune principali (Io, Europa, Ganimede, Callisto, scoperte nel 1609 da Galileo Galilei, 1564-1642) e 91 più piccole. Saturno ne ha ben 146 in totale! Praticamente tutte le lune sono in rotazione sincrona, il che significa che mostrano sempre la stessa faccia al loro pianeta, come la nostra Luna.

Gli anelli di Saturno (Figura 4), composti da innumerevoli particelle di ghiaccio e roccia, sono larghi più di 30.000 km (tre volte il diametro terrestre) ma estremamente sottili, con uno spessore che varia da poche decine a poche centinaia di metri. Per questo motivo, quando vengono visti di taglio (circa ogni 15 anni terrestri), non riflettono quasi per niente la luce solare e non sono visibili dalla Terra.

Figura 4 – Foto di Saturno scattata dall’HST (fonte: NASA, ESA, STScI, Amy Simon NASA-GSFC)

Saturno

Oltre l’orbita di Nettuno, ovvero tra i 30 e i 50 metri sulla nostra scala, si trova la Fascia di Kuiper (dal nome di Gerrit Pieter Kuiper, 1905-1973), che contiene migliaia di corpi ghiacciati, resti della formazione del Sistema Solare, tra cui pianeti nani come Plutone, distribuiti essenzialmente in un volume schiacciato sul piano dell’eclittica. La cosiddetta eliosfera termina qui. Una regione ancora più esterna, la Nube di Oort (dal nome di Jan Oort, 1900-1992), tra i 2 e i 200 km sulla nostra scala, è stata ipotizzata contenere un’immensa diffusione di ghiaccio e rocce, il serbatoio da cui le comete vengono attirate dal Sole. Possiamo considerarla il confine esterno del Sistema Solare.

 

Prossimi episodi:
Capire le misure: 3 – Via Lattea
Capire le misure: 4 – Ammassi di galassie e oltre

Episodio precedente:
Capire le misure : 1 – Earth and Moon

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Capire le misure: 1 – Terra e Luna

Nella vita di tutti i giorni, non ci soffermiamo a pensare alle ‘dimensioni’ del pianeta in cui viviamo, il Sistema Solare, e della galassia (Via Lattea) in cui orbitiamo con la nostra astronave madre, la Terra.
In una serie di approfondimenti, cerchiamo di comprendere le distanze e alcuni parametri che caratterizzano questi sistemi. Il primo riguarda la Terra e il suo satellite, la Luna (Figura 1).

Figura 1 – la Terra e la Luna

Terra Luna

Il raggio medio della Terra (leggermente più piccolo ai poli che all’equatore) è di circa 6.370 km, il che significa che la sua circonferenza è di circa 40.000 km. Pertanto, un segnale elettromagnetico che viaggia a 300.000 km/s fa il giro del pianeta 7,5 volte in un secondo.

Ecco alcune misurazioni interessanti da confrontare:

– Lo spessore della troposfera, dove si verificano praticamente tutti i fenomeni meteorologici e dove si concentra quasi tutto il vapore acqueo, varia da circa 8 km (ai poli) a circa 20 km (all’equatore), ovvero in media 14 km. Ciò significa che se la Terra avesse le dimensioni di un pallone da calcio (raggio di circa 11 cm), la troposfera avrebbe all’incirca lo spessore di due fogli di carta (circa 0,24 mm).

– La montagna più alta (Everest, circa 8,8 km) e l’oceano più profondo (Fossa delle Marianne, circa 10,9 km) sono dello stesso ordine di grandezza dell’altezza della troposfera. Come a dire che tenendo quel pallone da calcio in mano non si noterebbe quasi la loro presenza.

– La Luna, che ha un raggio di 1.737 km, sarebbe leggermente più piccola di una pallina da tennis (raggio di circa 3 cm) rispetto alla Terra, grande quanto un pallone da calcio, vedi Figura 2. La sua distanza media dalla Terra è di circa 380.000 km, quindi un segnale elettromagnetico impiega circa 1,3 secondi per arrivare; nelle proporzioni calcolate per le palline, la distanza tra loro sarebbe di circa 6,5 ​​metri.

Figura 2 – Pallone da calcio e palla da tennis nelle proporzioni della Terra e della Luna

palle

– L’altitudine a cui volano gli aerei di linea, circa 10 km, è poco più spessa di un foglio di carta. Visti dallo spazio, sembrano più strisciare che volare. La Stazione Spaziale Internazionale (ISS) è mantenuta a un’altitudine di circa 400 km, circa 7 mm sopra il pallone da calcio, a una velocità di circa 28.000 km/h, ovvero si sposterebbe di circa 8 mm al minuto.

– Considerando la rotazione terrestre in 24 ore, la velocità tangenziale di un punto all’equatore è di quasi 1.700 km/h; alle nostre latitudini, di circa 45°, la velocità è di poco inferiore a 1.200 km/h. Per questo motivo, le rampe di lancio delle sonde spaziali sono posizionate a basse latitudini, vicino all’equatore, per sfruttare la maggiore velocità lineare. La velocità di fuga necessaria per vincere l’attrazione gravitazionale (circa 40.000 km/h sulla Terra) è più facilmente raggiungibile sfruttando la velocità del punto di lancio (con una direzione di partenza verso est per ottenere il massimo effetto, considerando che la Terra ruota verso est e le velocità possono sommarsi).
Si noti che la velocità di fuga non è legata alla direzione ‘verso l’alto’; è la velocità minima a una data altitudine per essere svincolati dal legame gravitazionale, in qualsiasi direzione, purché non si entri in collisione con il pianeta.

 

Prossimi episodi:
Capire le misure: 2 – Sistema solare
Capire le misure: 3 – Via Lattea
Capire le misure: 4 – Ammassi di galassie e oltre

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Quanto vuota è la materia?

Molto vuota.
Estremamente vuota.

Consideriamo i costituenti elementari, gli atomi, che solitamente si aggregano in molecole per formare la materia che conosciamo. Sono costituiti da un nucleo che rappresenta quasi l’intera massa, sotto forma di  protoni (carichi positivamente) e neutroni, con massa quasi uguale a quella dei protoni ma privi di carica, e da elettroni molto leggeri (1/2000 della massa del protone) carichi negativamente che ‘orbitano’ attorno al nucleo. In condizioni normali, le cariche elettriche dei protoni e degli elettroni dell’atomo ‘neutro’ si bilanciano a vicenda. Tutte le aggregazioni tra atomi avvengono grazie alle forze di attrazione tra cariche diverse (mentre, come sappiamo, cariche uguali si respingono, come nel caso delle forze magnetiche). Nel nucleo, i protoni, pur avendo la stessa carica positiva e respingendosi, sono tenuti insieme da una forza estremamente intensa detta forza nucleare forte.

Figure 1 – Esempio di uno schema molto impreciso di un atomo (fonte: freepic.com)

atomo falso

La Figura 1 è un tipico esempio di rappresentazione errata di un atomo, per molte ragioni, ma due sono fondamentali: le particelle non sono ‘palle’ ma densità di probabilità, ovvero ‘nuvole allungate’ anziché ‘palle’; le proporzioni sono mostruosamente fuorvianti. Questo ci porta all’argomento di questo post. Consideriamo l’atomo più piccolo e semplice, l’atomo di idrogeno neutro H (composto da 1 protone e 1 elettrone), e l’atomo di ferro neutro Fe (l’isotopo più comune è composto da 26 protoni, 30 neutroni e 26 elettroni). La massa di Fe è quindi circa 56 volte quella di H. Per le misurazioni atomiche, utilizziamo gli angstrom (Å, dal nome del fisico svedese Anders Jonas Ångström, 1814-1874), pari a un decimo di miliardesimo di metro (10¯¹º m). Consideriamo anche solo i nuclei e la distanza minima degli elettroni dal nucleo, ovvero il raggio della loro orbita più interna (quindi la ‘dimensione’ dell’intero atomo è molto maggiore). Alcune misurazioni effettive di queste particelle sono approssimativamente le seguenti:

AtomNucleusMin distance electronsΔ
H1,7 · 10-5 Å (0,000017 Å)0,5 Å~2.9 · 104
Fe5 · 10-5 Å (0,00005 Å) 1,25 Å~2.5 · 104

Quindi tra il nucleo e l’orbita più interna degli elettroni ci sono circa quattro ordini di grandezza! Questo è spazio vuoto. Ovviamente, ci sono campi elettrici che tengono insieme tutto, ma non ci sono particelle massicce, legate o meno, in quello spazio, e non possono essercene in nessun atomo, in normali condizioni della materia.

Quattro ordini di grandezza significa che se il nucleo di Fe avesse le dimensioni di una prugna (5 cm), ci sarebbe spazio vuoto fino a 1250 metri di distanza. Per H, se il nucleo avesse le dimensioni di un acino d’uva (17 mm), ci sarebbe spazio vuoto fino a 500 metri di distanza.

Ciò che permette alla materia di legarsi allo stato solido sono le forze di legame elettrico tra gli atomi, dovute alla presenza/assenza di elettroni nei gusci atomici più esterni, ma questa è un’altra storia.
Questi spazi vuoti si comprimono solo in condizioni estreme, ad esempio quando la materia degenera in stelle che si trasformano in nane bianche o stelle di neutroni (quando la forza di radiazione verso l’esterno cessa e la gravità comprime la stella), raggiungendo densità inimmaginabili (un acino d’uva avrebbe una massa di miliardi di tonnellate). Ma anche questa è un’altra storia.

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Il paradosso di Olbers e il cielo notturno buio

Perché il cielo notturno è buio?
Se l’universo fosse infinito, eterno e statico, come sosteneva Giordano Bruno (1548-1600), e come sosteneva la cosmologia fino all’inizio del XX secolo, aggiungendo che è popolato da stelle in modo omogeneo, il cielo notturno dovrebbe essere luminoso e non buio. Questa contraddizione era già stata notata da Johannes Kepler (1571-1630) nel 1610 nella Dissertatio cum Nuncio Sidereo.
Tuttavia, il principio fu chiaramente formulato nel 1826 da Einrich Wilhelm Olbers (1758-1840), che dimostrò matematicamente (vedi sotto, ragionamento facoltativo che può essere saltato) perché il cielo notturno dovesse brillare, secondo la cosmologia dell’epoca, evidenziando un paradosso rispetto all’osservazione.

Immaginando l’universo come costituito da gusci sferici concentrici rispetto al nostro punto di osservazione (vedi Figura 1), l’intensità della radiazione ricevuta (flusso f ) da una sorgente ( L ) a una distanza ( r ) è inversamente proporzionale al quadrato della distanza:
[1] f = L / 4 π r²
Il numero di sorgenti contenute nel guscio è proporzionale al volume, che aumenta con il quadrato della distanza (con incrementi infinitesimali
dr = R – r (con riferimento alla Figura 1):
[2] dn ∝ dV ≈ 4 π r² dr
Pertanto, gli effetti di [1] e [2] si compensano a vicenda e ogni guscio contribuisce con la stessa intensità, indipendentemente dalla distanza.
L’intensità infinitesimale ( dI ) derivante dal guscio infinitesimale, moltiplicando [1] e [2], è:
[3] dI = f dn = n L dr
Integrando [3] si ottiene l’intensità totale:
[4] I = ∫₀ᴿ n L dr = n L R
Pertanto, per R → ∞ , l’intensità [4] dovrebbe diventare infinita. Quindi c’è qualcosa che non va nel ragionamento (da qui il paradosso).

Figura 1 – schizzo di un guscio sferico

guscio sferico

L’osservazione del cielo notturno buio viene spiegata in termini moderni (basandosi sul modello cosmologico standard) perché l’universo esiste da un tempo finito (ipotesi del Big Bang) ed è in espansione (interpretazione del redshift della radiazione proveniente da sorgenti remote).
Nel primo caso, si considera che la luce proveniente da sorgenti remote, che ha una velocità finita, semplicemente non ci abbia ancora raggiunto.

Nel secondo caso, il redshift, ovvero lo spostamento della luce verso lunghezze d’onda maggiori (ad esempio, nella banda dell’infrarosso, oltre l’intervallo visibile all’occhio umano), impedisce l’osservazione di sorgenti remote.
Va inoltre ricordato che la distribuzione dell’intensità della radiazione proveniente da sorgenti stellari segue una curva di Planck (vedi Figura 3), che ha il suo massimo nella banda della luce visibile. In altre parole, non ci sono intensità di radiazione significative in una tipica sorgente stellare che, spostandosi per effetto del redshift, potrebbero influenzare questa banda visibile.
Infatti, sottolineiamo che l’intervallo di radiazione visibile ai nostri occhi è molto piccolo rispetto all’intero spettro di radiazione, come mostrato in Figura 2.
In realtà, il solo redshift spiegherebbe il cielo notturno buio, anche se l’universo fosse infinito e senza ipotizzare un Big Bang. E anche senza espansione, se il redshift osservato avesse una causa diversa.

Figura 2 – spettro completo della radiazione con banda visibile

spettro completo

 

Figura 3 – Schema di una funzione planckiana della luminosità (intensità della radiazione emessa per unità di angolo solido) per sorgenti stellari con diverse temperature superficiali. Quella del Sole è di circa 5700 K.

corpo nero

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La diffusione di Rayleigh e il cielo blu

Perché il cielo diurno è blu?
Dobbiamo esaminare un tipo di diffusione (scattering) che colpisce i fotoni della radiazione solare quando interagiscono con le molecole che compongono l’atmosfera, ovvero azoto e ossigeno (il 99% dei componenti).
Si tratta della diffusione di Rayleigh (dal nome del premio Nobel John William Strutt Rayleigh, 1842-1919), che colpisce particelle più piccole della lunghezza d’onda della radiazione incidente. Si tratta di una diffusione elastica, quindi la lunghezza d’onda della radiazione stessa non cambia.
Stiamo parlando di fotoni, ma la formula è stata sviluppata sulla base della teoria elettromagnetica classica, non della teoria quantistica (che è stata creata dopo la morte di Rayleigh).

Figura 1 – Dipendenza angolare dello Scattering di Rayleigh
(copyright MLisandra, CC BY-SA 4.0, tramite Wikimedia Commons, qui senza la formula come nell’originale)

Per la spiegazione che stiamo cercando, la formula di scattering di Rayleigh può essere semplificata come segue (vedi anche Figura 1):
[1] I ~ I₀ (1+cos²γ) / λ⁴
dove I è l’intensità della radiazione diffusa, I₀ è l’intensità della radiazione incidente con lunghezza d’onda λ, γ è l’angolo di diffusione della radiazione incidente.

Possiamo vedere immediatamente che l’angolo in cui l’intensità [1] è minima è l’angolo retto ( π/2 ), dove il coseno è zero (vedi Figura 2), il che significa che il cielo è più scuro (il blu è più intenso) a un angolo di 90° rispetto alla direzione del Sole.
Inoltre, la dipendenza dall’inverso della quarta potenza di λ suggerisce che gli effetti per diverse lunghezze d’onda siano significativamente diversi. Infatti, la luce blu viene diffusa molto di più della luce rossa, che ha una lunghezza d’onda maggiore (vedere Figura 3), rendendo il cielo blu. Anche le lunghezze d’onda più corte, come quelle del violetto, sono meno intense all’origine e non contribuiscono in modo significativo.
All’alba e al tramonto, la luce blu viene ampiamente diffusa dallo strato più ampio di atmosfera che attraversa, insieme alla luce gialla e verde, quindi prevale la luce rossa/arancione.

Nel caso di particelle più piccole, vengono considerati la sezione trasversale e l’indice di rifrazione della particella, ma anche se le molecole di gas atmosferico vengono trattate come sorgenti puntiformi, in questo caso gli effetti dipendono dalla loro polarizzabilità dovuta alla radiazione incidente. Chi scatta fotografie utilizzando un filtro polarizzatore conosce bene questo fenomeno: regolando infatti l’effetto del filtro e quindi la polarizzazione, il cielo può addirittura diventare completamente nero a 90° rispetto al Sole, il che può essere creativo ma poco realistico!

Figura 2 – Comportamento della funzione coseno

funzione coseno

Figura 3 – banda della radiazione visibile

banda della radiazione visibile

Vedi anche il mio post Mie scattering and white clouds.

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Luminosità di Eddington e i limiti alla crescita stellare

La luminosità di Eddington ( Lₑ ) (dal nome di Arthur Stanley Eddington, 1882-1944), nota anche come limite di Eddington, è il limite della crescita di una struttura in equilibrio idrostatico (vedere Figura 1), che bilancia la pressione di radiazione verso l’esterno con l’attrazione gravitazionale verso l’interno.

Figure 1 -equilibrio idrostatico

La relazione per il limite di luminosità può essere facilmente ricavata, ottenendo:
[1] L ≤ 4π c G M / k = Lₑ
dove G è la costante gravitazionale universale, M è la massa dell’oggetto, c è la velocità della luce e k è l’opacità (capacità di assorbire la radiazione) del materiale che compone l’oggetto.
In funzione dei parametri solari, nel caso del modello costituito da idrogeno ionizzato, [1] può essere espresso come:
[2] Lₑ ≈ 3,2 * 10⁴ (M/M๏) L๏
dove M๏ e L๏ sono la massa e la luminosità del Sole.

Nel nucleo molto caldo delle stelle massicce (o nei dischi di accrescimento dei buchi neri), l’opacità è indipendente dalla frequenza e dalla temperatura, è correlata a diffusione di Thomson (see Thomson scattering on Wikipedia for more informations) of free electrons, and can be expressed as:
[3] kₑₛ = σₜ nₑ / ρ
dove σₜ è la sezione d’urto di Thomson per gli elettroni, nₑ è la densità numerica degli elettroni e ρ è la densità del mezzo.
Per considerare il caso più generale di modelli costituiti anche da elio e metalli, la relazione generale è espressa come una funzione della frazione di massa (X ) di idrogeno, e la [3] diventa:
[4] kₑₛ = σₜ (1+X) / 2 mₚ ≈ 0,2 (1+X) cm² / gr
dove mₚ è la massa del protone.
Pertanto, nel caso di un modello costituito solo da elio, la luminosità di Eddington raddoppierebbe (con X=0 , [4] è dimezzato e [1] è raddoppiato).
È possibile derivare relazioni anche per casi di modelli che non sono completamente ionizzati o più freddi (per stelle meno massicce) o per radiazioni altamente energetiche (ad esempio, raggi gamma come nei dischi di accrescimento dei buchi neri), ma questi esulano dallo scopo di questo post.

È degno di nota che questo limite fisico spieghi perché non osserviamo stelle infinitamente grandi; oltre un certo limite di massa, la luminosità è tale da disgregare la stella.
La luminosità di Eddington definisce anche la velocità massima a cui un buco nero può crescere: se la materia cade troppo rapidamente, la luce emessa la respinge.

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Una presentazione chiara di un corso di meccanica quantistica

Non tutti i professori sono così espliciti nel presentare un corso di meccanica quantistica, che è oggettivamente molto impegnativo. Una medaglia all’onestà intellettuale a questo professore!
(sì, è un vecchio video, ma vale comunque la pena guardarlo ; )

link  Presentazione di un corso di meccanica quantistica

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La legge di Snell e le cause della rifrazione

Ricordiamo la nota legge di Snell, che descrive il fenomeno della rifrazione:
– un raggio di luce subisce una deviazione quando passa da un mezzo trasparente a un altro con un indice di rifrazione diverso (vedi Figura 2).

Figure 1 – Legge di Snell

 

Figure 2 – Esempio di rifrazione

Matematicamente (vedi Figura 1):
[1] n’ sin(θ’) = n” sin(θ”)
dove n’ , n” sono gli indici di rifrazione dei due mezzi trasparenti, θ’ , θ” sono gli angoli di incidenza e rifrazione (misurati rispetto alla normale all’interfaccia tra i mezzi).
In altre parole, dati due mezzi, il rapporto tra i rispettivi seni degli angoli di incidenza e rifrazione è costante.
Una prima dimostrazione può essere ottenuta applicando il principio del minimo tempo di Pierre de Fermat (1601-1665), ovvero che la luce segue il percorso che richiede il minor tempo per viaggiare da un punto all’altro. Di seguito alleghiamo la semplice dimostrazione geometrico-analitica:

pdf    Dimostrazione geometrico-analitica di Fermat_Snell

Bene, questa relazione (forse già studiata nel X secolo dal matematico persiano Ibn Sahl) è certamente interessante, ma qual è la motivazione fisica di questa quantità costante? È necessario identificare dove risiede questa regolarità.
Le ragioni derivano direttamente dalle equazioni di Maxwell, le leggi fondamentali che descrivono l’interazione tra campi elettrici e magnetici.
Da queste, ne consegue che le condizioni al contorno richiedono che le componenti tangenziali del campo elettrico e del campo magnetico siano continue lungo la superficie di separazione. Pertanto, la fase dell’onda incidente (riflessa) e trasmessa deve essere la stessa lungo questo confine.

L’ipotesi che la frequenza ( ν ) della luce incidente rimanga costante (ovvero che sia indipendente dal mezzo in cui si propaga) può essere compresa anche considerando che, se così non fosse, essa perderebbe coerenza attraversando la superficie tra i due mezzi, trasformando probabilmente l’immagine osservata attraverso la superficie di separazione in un colore grigio uniforme, che non viene osservato.
Inoltre, poiché l’energia associata ai fotoni incidenti è E = h ν , dove h è la costante di Planck, la stessa conservazione dell’energia ci dice che la frequenza non può cambiare.
Nota quantistica: questa considerazione si riferisce a un singolo fotone, che cambierebbe colore (verso il rosso) se perdesse energia (fenomeno che non si verifica per tutti i fotoni rifratti osservati). Considerando un fascio di fotoni, tuttavia, può darsi che il secondo mezzo causi l’assorbimento della luce incidente, quindi una diminuzione dell’energia totale, ma questo riguarda l’intero fascio che assorbe completamente alcuni fotoni e non i singoli fotoni.

Considerando i vettori d’onda k’ (incidente) e k” ( rifratto) associati alle rispettive fasi, ed eguagliando le loro proiezioni sull’interfaccia di separazione, otteniamo:
[2] k’ sin(θ’) = k” sin(θ”)
ma k = ω / v , dove ω è la frequenza angolare dell’onda elettromagnetica della luce incidente, v è la velocità nel mezzo, e definendo l’indice di rifrazione n = c / v (derivato dalle costanti ε₀ e μ₀ del mezzo utilizzando le equazioni di Maxwell, dove c = 1/√(ε₀ μ₀) ), da [2] otteniamo infine [1].

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Il problema dei tre corpi e i cinque punti lagrangiani

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) fu un grande matematico del XVIII secolo. I suoi principali studi di meccanica lo portarono ad affrontare il problema gravitazionale dei tre corpi, che tuttavia rimane ancora oggi irrisolto perché il sistema è intrinsecamente caotico e imprevedibile a lungo termine, poiché piccole variazioni iniziali causano risultati drasticamente diversi.
Lagrange trovò le soluzioni di equilibrio (i cinque punti lagrangiani, vedi figura tratta dal sito web dell’ESA) per il sistema nel caso semplificato ma estremamente interessante in cui il terzo corpo abbia massa trascurabile rispetto agli altri due (ad esempio, il Sole, un pianeta e un asteroide o un satellite artificiale). I primi tre punti (L1, L2, L3) erano già stati trovati da Leonhard Euler (1707-1783), un altro grande matematico del XVIII secolo, mentre Lagrange trovò i cosiddetti punti “triangolari” (L4, L5), perché formano triangoli equilateri perfetti con i due corpi principali.
Per i dettagli su questi punti, si può fare riferimento alle semplici spiegazioni su
Sito web dell’ESA (Agenzia spaziale europea).

Ovviamente, Lagrange non avrebbe mai potuto conoscere le prove a sostegno della sua congettura (fu solo nel 1906 che gli astronomi confermarono la sua teoria scoprendo asteroidi troiani catturati nei punti L4 e L5 dell’orbita di Giove) o la sua attuale utilità nel posizionamento dei nostri veicoli di esplorazione spaziale.
Grazie alla loro “stabilità gravitazionale”, che consente di risparmiare energia di posizionamento (e nel caso di L2 fornisce anche una schermatura parziale dal Sole), è ipotizzabile che, nel futuro dell’esplorazione spaziale, basi avanzate per l’esplorazione dello spazio profondo saranno situate nei punti lagrangiani.

 

I 5 punti lagrangiani, dal sito dell’ESA (Ente Spaziale Europeo); le orbite dei punti L1 e L2 non sono in scala, la loro distanza dalla Terra è circa 1/100 del raggio dell’orbita terrestre

punti lagrangiani

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