Le mie ricerche scientifiche ed epistemologiche
Post che riguardano argomenti matematici.
Ho avuto dei ripensamenti sulla bozza di dimostrazione già pubblicata qui.
Utilizzando un paio di teoremi (chiamati 1.1.3 e 1.1.8, allegati), la dimostrazione diventa molto più semplice e immediata.
Ma credo di essere giustificato nella mia svista, dato che ho studiato questi teoremi così tanto tempo fa che Tim Berners Lee non aveva ancora inventato il www ; )
Brussi 2026_Theorem_1.1.3 and 1.1.8
Brussi 2026_Dedekind theorem 2
La regola della catena nelle equazioni differenziali è un piccolo ma potente trucco spesso utilizzato per derivare funzioni composte calcolando la derivata della funzione esterna mantenendo invariata la funzione interna.
Ad esempio, l’espressione dy/dx può essere riscritta come:
[1] dy/dx = dy/du * du/dx .
In questo modo possiamo ottenere una derivata rispetto a una variabile che è più utile, ad esempio perché ne conosciamo il valore (magari in un’espressione formale più semplice, oppure già noto), oppure è più facile da integrare.
In termini semplici, ciò significa trasformare il tasso di variazione di x rispetto a y nel prodotto del tasso di variazione di u rispetto a y per il tasso di variazione di x rispetto a u.
Per quanto riguarda le regole per la derivazione delle funzioni, la regola della catena porta alla dimostrazione che se F(x) = f(g(x)), la sua derivata è:
[2] F'(x) = f'(g(x) * g'(x) .
Ma mentre questa regola per derivare le funzioni viene usata quotidianamente senza pensarci, la regola della catena può essere un utile trucco per risolvere molti problemi di fisica quando non conosciamo il tasso di variazione diretto tra due variabili.
Un semplice esempio del suo utilizzo in astrofisica è lo studio della formazione stellare e della massa di Jeans (la soglia critica necessaria affinché una nube di gas e polvere interstellare collassi sotto la propria gravità e formi stelle). La regola della catena viene utilizzata per convertire l’accelerazione in una forma che dipende dalla posizione piuttosto che dal tempo, rendendo l’equazione differenziale integrabile. In termini formali, come in [1], possiamo scrivere:
[3] d²R/dt² = dv/dt = dv/dR * dR/dt = v * dv/dR ,
dove v = dR/dt .
In questo caso, questa sostituzione ci permette di integrare l’equazione del moto rispetto al raggio R per determinare il tempo di caduta libera di una nube di gas in collasso (si omette il calcolo, fuori argomento).
Collapsing gas cloud (fonte accademiadellestelle.org)
Alcune considerazioni per i veri principianti.
Il segno di uguale “=” è un simbolo matematico (coniato dal matematico gallese Robert Recorde nel 1557) formato da due linee orizzontali parallele, usato per indicare che due espressioni hanno lo stesso valore o sono identiche.
Viene insegnato fin dai primi anni della scuola elementare, ma non credo che la forza del suo significato profondo venga spiegata a sufficienza. Almeno, questo è ciò che possiamo vedere dalle difficoltà incontrate dagli studenti un po’ più grandi.
Uguale significa esattamente uguale. Ciò che si trova a sinistra del segno “=” ha lo stesso valore di ciò che si trova a destra. Quindi, se c’è un simbolo a sinistra e un numero a destra, in quel contesto quel simbolo vale esattamente la quantità indicata. E se due simboli sono uguali, possono essere usati in modo intercambiabile. Banale, ma fonte di grandi dubbi per chi non ha afferrato appieno il concetto di base.
Da un punto di vista formale, il segno di uguale soddisfa le seguenti condizioni:
– Proprietà riflessiva: Ogni valore è uguale a se stesso, a = a
– Proprietà simmetrica: se a = b allora b = a (l’ordine delle espressioni può essere scambiato senza cambiare la verità)
– Proprietà transitiva: se a = b e b = c allora a = c
– Proprietà di sostituzione: informalmente, questo significa semplicemente che se a = b , allora a può sostituire b in qualsiasi espressione o formula matematica senza cambiarne il significato; formalmente, per ogni a e b , e qualsiasi formula ϕ(x) con una variabile libera x , se a = b , allora ϕ(a) implica ϕ(b) ; possiamo chiamare questa un’applicazione di funzione.
Anche senza entrare in ulteriori dettagli, queste semplici proprietà ci permettono, ad esempio, di risolvere direttamente equazioni di primo grado. Ci permettono di invertire le formule semplicemente aggiungendo o moltiplicando la stessa quantità su entrambi i lati dell’equazione. Ok, facendo attenzione a non dividere per zero.
Se le quantità incognite (le cosiddette variabili) sono di grado superiore, le cose si complicano, ma l’efficacia di “=” rimane la stessa.
Un piccolo trucco efficace basato su questo è quello di utilizzare nuove variabili per sostituire espressioni più complesse o con potenze superiori.
Una bozza scritta in italiano dimostra l’esistenza e l’unicità di un elemento che separa due insiemi non vuoti che rappresentano il campo dei numeri reali.
Questo ci permette di dimostrare che i numeri reali sono uno spazio completo (ovvero che ogni successione di Cauchy è convergente).
Nota: nel caso dei numeri irrazionali anziché dei numeri razionali, non funziona perché non sono completi, ovvero non è possibile definire un elemento che sia un estremo.
In parole povere, si potrebbe dire che se i numeri razionali vengono rimossi dai numeri reali per ottenere numeri irrazionali, allora rimangono delle “lacune” e la completezza non esiste più.
aggiornamento: una riconsiderazione della dimostrazione
Brussi 2026_Teorema di Dedekind
Un piccolo promemoria su una utile funzione utilizzata in astronomia: l’equazione integrale di Abel (fonte: Google AI)
A scuola, 50 anni fa, mi insegnarono una dimostrazione del teorema di Pitagora.
Non la ricordavo e ho provato a farne una mia.
Tra la decina che ho ricavato, riporto un paio di bozze dimostrative.
Brussi 2026_Pythagorean theorem 2
Brussi 2026_Pythagorean theorem 9
Un articolo molto completo con esempi del trucco di Feynman per l’integrazione (derivazione sotto il segno di integrale). Ma anche nei casi più semplici è uno strumento prezioso.
Zaharia Burghelea “Feynman’s Trick”
Dopo una pausa dal 2021, riprendo la mia presenza online con questa piccola raccolta di suggerimenti, alla ricerca di un dialogo intellettuale. Fatemi sapere cosa ne pensate nei commenti o via email.
Grazie
p.s. Ho pubblicato con le date dei documenti originali
Deriviamo la seconda equazione di Jeans (le equazioni di Jeans sono un insieme di equazioni differenziali parziali che descrivono il moto di un insieme di stelle in un campo gravitazionale), dall’equazione di Boltzman senza collisioni (CBE) in coordinate cilindriche.
Scritto in inglese.
Brussi 2024_Jeans equation in cylindrical coordinates
Un’analisi approfondita che deriva la funzione di distribuzione dei fotoni, nota come distribuzione di Planck o legge del corpo nero, in due modi diversi.
Brussi 2023_Funzione di distribuzione dei fotoni
