Radiazione – Pagina 2 – Andrea Brussi

La funzione di errore come trucco di integrazione

La funzione di errore, comunemente chiamata error function, erf (x) , rappresenta una funzione statistica ma può essere utilizzata come trucco di integrazione nel caso di esponenziali complesse, che si presentano con una certa frequenza nello studio della fisica, ad esempio nelle equazioni differenziali della propagazione del calore. Viene inoltre utilizzato in meccanica quantistica per descrivere particelle rappresentate da una funzione d’onda e in astrofisica per l’analisi spettroscopica delle righe spettrali, come negli esempi discussi in dettaglio (in inglese e traduzione italiana).

Brussi 2026_The error function as an integration trick

Brussi 2026_La funzione di errore come trucco di integrazione

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Come funzionano i fulmini

Una spiegazione interessante è fornita nell’eccellente libro di Ottavio Vittori L’atmosfera del pianeta Terra (Zanichelli, 1992), del quale è allegato con le migliori intenzioni il capitolo introduttivo su questo potente fenomeno elettrico.

Vittori 1992_L’atmosfera del pianeta Terra

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Il paradosso di Olbers e il cielo notturno buio

Perché il cielo notturno è buio?
Se l’universo fosse infinito, eterno e statico, come sosteneva Giordano Bruno (1548-1600), e come sosteneva la cosmologia fino all’inizio del XX secolo, aggiungendo che è popolato da stelle in modo omogeneo, il cielo notturno dovrebbe essere luminoso e non buio. Questa contraddizione era già stata notata da Johannes Kepler (1571-1630) nel 1610 nella Dissertatio cum Nuncio Sidereo.
Tuttavia, il principio fu chiaramente formulato nel 1826 da Einrich Wilhelm Olbers (1758-1840), che dimostrò matematicamente (vedi sotto, ragionamento facoltativo che può essere saltato) perché il cielo notturno dovesse brillare, secondo la cosmologia dell’epoca, evidenziando un paradosso rispetto all’osservazione.

Immaginando l’universo come costituito da gusci sferici concentrici rispetto al nostro punto di osservazione (vedi Figura 1), l’intensità della radiazione ricevuta (flusso f ) da una sorgente ( L ) a una distanza ( r ) è inversamente proporzionale al quadrato della distanza:
[1] f = L / 4 π r²
Il numero di sorgenti contenute nel guscio è proporzionale al volume, che aumenta con il quadrato della distanza (con incrementi infinitesimali
dr = R – r (con riferimento alla Figura 1):
[2] dn ∝ dV ≈ 4 π r² dr
Pertanto, gli effetti di [1] e [2] si compensano a vicenda e ogni guscio contribuisce con la stessa intensità, indipendentemente dalla distanza.
L’intensità infinitesimale ( dI ) derivante dal guscio infinitesimale, moltiplicando [1] e [2], è:
[3] dI = f dn = n L dr
Integrando [3] si ottiene l’intensità totale:
[4] I = ∫₀ᴿ n L dr = n L R
Pertanto, per R → ∞ , l’intensità [4] dovrebbe diventare infinita. Quindi c’è qualcosa che non va nel ragionamento (da qui il paradosso).

Figura 1 – schizzo di un guscio sferico

L’osservazione del cielo notturno buio viene spiegata in termini moderni (basandosi sul modello cosmologico standard) perché l’universo esiste da un tempo finito (ipotesi del Big Bang) ed è in espansione (interpretazione del redshift della radiazione proveniente da sorgenti remote).
Nel primo caso, si considera che la luce proveniente da sorgenti remote, che ha una velocità finita, semplicemente non ci abbia ancora raggiunto.

Nel secondo caso, il redshift, ovvero lo spostamento della luce verso lunghezze d’onda maggiori (ad esempio, nella banda dell’infrarosso, oltre l’intervallo visibile all’occhio umano), impedisce l’osservazione di sorgenti remote.
Va inoltre ricordato che la distribuzione dell’intensità della radiazione proveniente da sorgenti stellari segue una curva di Planck (vedi Figura 3), che ha il suo massimo nella banda della luce visibile. In altre parole, non ci sono intensità di radiazione significative in una tipica sorgente stellare che, spostandosi per effetto del redshift, potrebbero influenzare questa banda visibile.
Infatti, sottolineiamo che l’intervallo di radiazione visibile ai nostri occhi è molto piccolo rispetto all’intero spettro di radiazione, come mostrato in Figura 2.
In realtà, il solo redshift spiegherebbe il cielo notturno buio, anche se l’universo fosse infinito e senza ipotizzare un Big Bang. E anche senza espansione, se il redshift osservato avesse una causa diversa.

Figura 2 – spettro completo della radiazione con banda visibile

Figura 3 – Schema di una funzione planckiana della luminosità (intensità della radiazione emessa per unità di angolo solido) per sorgenti stellari con diverse temperature superficiali. Quella del Sole è di circa 5700 K.

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La diffusione di Rayleigh e il cielo blu

Perché il cielo diurno è blu?
Dobbiamo esaminare un tipo di diffusione (scattering) che colpisce i fotoni della radiazione solare quando interagiscono con le molecole che compongono l’atmosfera, ovvero azoto e ossigeno (il 99% dei componenti).
Si tratta della diffusione di Rayleigh (dal nome del premio Nobel John William Strutt Rayleigh, 1842-1919), che colpisce particelle più piccole della lunghezza d’onda della radiazione incidente. Si tratta di una diffusione elastica, quindi la lunghezza d’onda della radiazione stessa non cambia.
Stiamo parlando di fotoni, ma la formula è stata sviluppata sulla base della teoria elettromagnetica classica, non della teoria quantistica (che è stata creata dopo la morte di Rayleigh).

Figura 1 – Dipendenza angolare dello Scattering di Rayleigh
(copyright MLisandra, CC BY-SA 4.0, tramite Wikimedia Commons, qui senza la formula come nell’originale)

Per la spiegazione che stiamo cercando, la formula di scattering di Rayleigh può essere semplificata come segue (vedi anche Figura 1):
[1] I ~ I₀ (1+cos²γ) / λ⁴
dove I è l’intensità della radiazione diffusa, I₀ è l’intensità della radiazione incidente con lunghezza d’onda λ, γ è l’angolo di diffusione della radiazione incidente.

Possiamo vedere immediatamente che l’angolo in cui l’intensità [1] è minima è l’angolo retto ( π/2 ), dove il coseno è zero (vedi Figura 2), il che significa che il cielo è più scuro (il blu è più intenso) a un angolo di 90° rispetto alla direzione del Sole.
Inoltre, la dipendenza dall’inverso della quarta potenza di λ suggerisce che gli effetti per diverse lunghezze d’onda siano significativamente diversi. Infatti, la luce blu viene diffusa molto di più della luce rossa, che ha una lunghezza d’onda maggiore (vedere Figura 3), rendendo il cielo blu. Anche le lunghezze d’onda più corte, come quelle del violetto, sono meno intense all’origine e non contribuiscono in modo significativo.
All’alba e al tramonto, la luce blu viene ampiamente diffusa dallo strato più ampio di atmosfera che attraversa, insieme alla luce gialla e verde, quindi prevale la luce rossa/arancione.

Nel caso di particelle più piccole, vengono considerati la sezione trasversale e l’indice di rifrazione della particella, ma anche se le molecole di gas atmosferico vengono trattate come sorgenti puntiformi, in questo caso gli effetti dipendono dalla loro polarizzabilità dovuta alla radiazione incidente. Chi scatta fotografie utilizzando un filtro polarizzatore conosce bene questo fenomeno: regolando infatti l’effetto del filtro e quindi la polarizzazione, il cielo può addirittura diventare completamente nero a 90° rispetto al Sole, il che può essere creativo ma poco realistico!

Figura 2 – Comportamento della funzione coseno

Figura 3 – banda della radiazione visibile

Vedi anche il mio post Mie scattering and white clouds.

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Luminosità di Eddington e i limiti alla crescita stellare

La luminosità di Eddington ( Lₑ ) (dal nome di Arthur Stanley Eddington, 1882-1944), nota anche come limite di Eddington, è il limite della crescita di una struttura in equilibrio idrostatico (vedere Figura 1), che bilancia la pressione di radiazione verso l’esterno con l’attrazione gravitazionale verso l’interno.

Figure 1 -equilibrio idrostatico

La relazione per il limite di luminosità può essere facilmente ricavata, ottenendo:
[1] L ≤ 4π c G M / k = Lₑ
dove G è la costante gravitazionale universale, M è la massa dell’oggetto, c è la velocità della luce e k è l’opacità (capacità di assorbire la radiazione) del materiale che compone l’oggetto.
In funzione dei parametri solari, nel caso del modello costituito da idrogeno ionizzato, [1] può essere espresso come:
[2] Lₑ ≈ 3,2 * 10⁴ (M/M๏) L๏
dove M๏ e L๏ sono la massa e la luminosità del Sole.

Nel nucleo molto caldo delle stelle massicce (o nei dischi di accrescimento dei buchi neri), l’opacità è indipendente dalla frequenza e dalla temperatura, è correlata a diffusione di Thomson (see Thomson scattering on Wikipedia for more informations) of free electrons, and can be expressed as:
[3] kₑₛ = σₜ nₑ / ρ
dove σₜ è la sezione d’urto di Thomson per gli elettroni, nₑ è la densità numerica degli elettroni e ρ è la densità del mezzo.
Per considerare il caso più generale di modelli costituiti anche da elio e metalli, la relazione generale è espressa come una funzione della frazione di massa (X ) di idrogeno, e la [3] diventa:
[4] kₑₛ = σₜ (1+X) / 2 mₚ ≈ 0,2 (1+X) cm² / gr
dove mₚ è la massa del protone.
Pertanto, nel caso di un modello costituito solo da elio, la luminosità di Eddington raddoppierebbe (con X=0 , [4] è dimezzato e [1] è raddoppiato).
È possibile derivare relazioni anche per casi di modelli che non sono completamente ionizzati o più freddi (per stelle meno massicce) o per radiazioni altamente energetiche (ad esempio, raggi gamma come nei dischi di accrescimento dei buchi neri), ma questi esulano dallo scopo di questo post.

È degno di nota che questo limite fisico spieghi perché non osserviamo stelle infinitamente grandi; oltre un certo limite di massa, la luminosità è tale da disgregare la stella.
La luminosità di Eddington definisce anche la velocità massima a cui un buco nero può crescere: se la materia cade troppo rapidamente, la luce emessa la respinge.

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Sabine sulla simmetria di gauge e la luce

Un interessante intervento di Sabine Hossenfelder che visualizza la simmetria di gauge con una metafora efficace, associata all’esistenza degli elettroni e della radiazione elettromagnetica.

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Perché le stelle scintillano di notte e i pianeti no?

Questo fatto, noto da millenni, permette anche al profano di distinguere immediatamente nel cielo notturno uno dei pianeti del Sistema Solare (Venere, Marte, Giove, Saturno) dalle stelle a occhio nudo.
Queste sorgenti luminose, osservate dalla superficie terrestre, mostrano due principali comportamenti caratteristici dovuti alla stessa causa, la turbolenza atmosferica:
– leggere oscillazioni di posizione (apprezzabili con un buon binocolo o un piccolo telescopio)
– scintillio di intensità (tipicamente solo stelle).
Altri effetti, soprattutto quando la sorgente è vicina all’orizzonte, sono: scintillio cromatico (cambiamenti di colore), estinzione atmosferica (diminuzione della luminosità), arrossamento e scintillio dei pianeti.
La turbolenza atmosferica a bassa quota (le prime decine o centinaia di metri) è responsabile delle oscillazioni posizionali, insieme alla turbolenza a media quota (6-8 km) dove si mescolano celle d’aria di diverse temperature e densità, mentre la turbolenza vicino alla tropopausa (8-12 km) associata alle correnti a getto è responsabile della scintillazione.

Sono le dimensioni ottiche delle sorgenti a fare la differenza nella scintillazione, in base alla loro interazione con le celle di turbolenza, che variano anch’esse in dimensioni. Le correnti a getto determinano celle di grandi dimensioni, che vanno da decine a centinaia di metri, ma la turbolenza segue il modello a cascata di Kolmogorov (vedi Figura 1), dissipando l’energia cinetica iniziale in vortici sempre più piccoli, fino all’ordine di centimetri o millimetri, che alla fine si trasformano in calore. Sono proprio queste microcelle a deviare la luce puntiforme proveniente dalle sorgenti stellari, ma hanno un effetto mediato nel caso di sorgenti otticamente più grandi come i pianeti, che coinvolgono più celle. L’effetto finale è la stabilizzazione della luce della sorgente, che quindi appare non scintillante.

Figura 1 – Uno schizzo illustrativo della trasformazione della turbolenza secondo il modello a cascata di Kolmogorov

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Breve panoramica sulla legge di opacità di Kramers nell’astrofisica stellare

In stellar astrophysics, opacity ( k ) is a measure of a material’s resistance to the flow of radiative energy. Una descrizione analitica di questo fenomeno è la legge di opacità di Kramers, una relazione di potenza derivata dalla fisica atomica che caratterizza il modo in cui la materia stellare interagisce con la radiazione in specifiche condizioni termodinamiche.

Brussi 2026_Brief on Kramers’ Opacity Law in Stellar Astrophysics

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Ole Rømer e la velocità finita della luce

Il primo a osservare che la propagazione della luce non era istantanea fu l’astronomo Giovanni Domenico Cassini (1625-1712); il primo a stimarne la velocità, nel 1676, fu l’astronomo danese Ole Christensen Rømer (1644-1710), entrambi basarono le loro osservazioni sul sistema solare.
Nota scritta in inglese

Brussi 2026_Ole Rømer and the finite speed of light

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Tesi di laurea

La mia tesi di laurea (in italiano) è pubblicata nell’archivio dell’Università di Padova:
Brussi 2025_Epistemologia del tempo e interpretazioni cosmologiche

In appendice alla tesi stessa, ho inserito una prima bozza di sviluppo del framework non standard, che, dopo una profonda revisione, è confluita nel mio lavoro
The URD Framework.

Abstract
Gli intenti di questo approfondimento sul tempo sono in primis esplorarne il significato ontologico negli sviluppi storici che ne hanno accompagnato l’evoluzione interpretativa, quindi esaminarne alcune criticità teoriche proposte dalla recente letteratura e, con alcune tesi originali, analizzare delle spiegazioni alternative all’espansione dell’universo, che l’interpretazione corrente pretende osservata sperimentalmente, per mezzo di un modello basato sul ‘tempo specifico’ dei fotoni alternativo al ‘tempo universale’ e di un modello che consideri la presenza di una densità energetica nel fluido cosmico (chiamato etere) che interagisca con la radiazione incidente e determini un effetto di redshift nella lunghezza d’onda, quindi ancora un maggior tempo per la diffusione della radiazione stessa. Del ‘tempo specifico’ è stata verificata la consistenza con lo spaziotempo di Minkowski, con i princìpi della relatività ristretta di Einstein e con le equazioni della dinamica cosmica di Fridman. Dimostrata la fallacia di questa ipotesi del ‘tempo specifico’, si è tratto come risultato positivo la non-necessità di postulare un tempo universale considerato che, definitone uno, se ne può dimostrare l’unicità o universalità (nei limiti dei modelli adottati). A integrazione dell’approfondimento, sono state analizzate possibili cause del redshift alternative alle dinamiche espansive dell’universo e si è considerata l’ipotesi che l’universo stesso si comporti come un corpo nero, emettendo una radiazione che possa interagire con i fotoni delle sorgenti remote attenuandone l’energia e determinandone un redshift, dopo aver ricavato una sezione d’urto per i fotoni che consenta le interazioni fotone-fotone. A fondamento delle congetture sono state considerate le evidenze osservative dirette, non interpretate per mezzo di teorie. Purtroppo non si è “chiuso il cerchio” con una spiegazione scientifica alle congetture presentate che fosse pienamente sostenibile, ma si riporta l’intero approfondimento come Allegato, ritenendo che le stesse congetture e alcuni modelli originali possano rappresentare un potenziale riferimento per futuri approfondimenti.

Tesi (1,8 MB):

Brussi 2025_Epistemologia del tempo e interpretazioni cosmologiche

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