Per principianti – Pagina 2

La diffusione di Mie e le nuvole bianche

Perché le nuvole sono bianche?
Dobbiamo esaminare un tipo di diffusione (scattering) che coinvolge i fotoni della radiazione solare quando interagiscono con le molecole che compongono le gocce di vapore che costituiscono le nuvole, o la nebbia. Diversamente dal caso della diffusione di Rayleigh (che coinvolge le molecole di azoto e ossigeno dell’aria, vedi La diffusione di Rayleigh e il cielo blu, di dimensioni inferiori alla lunghezza d’onda della radiazione incidente), in questo caso le gocce hanno lo stesso ordine di grandezza della radiazione (o sono di poco superiori). Il fenomeno è detto diffusione di Mie, dal fisico tedesco Gustav Adolf Fedor Wilhelm Ludwig Mie (1869-1957) che ne diede una rigorosa dimostrazione matematica.

Il fatto che le microgocce di vapore siano ‘grandi’, le porta a diffondere quasi tutte le lunghezze d’onda con la stessa intensità, quindi la luce appare bianca (o biancastra). Non c’è l’effetto di selezione come nel caso del cielo blu.
Un’altra caratteristica è che la diffusione non avviene in modo omogeneo ma soprattutto in avanti (nella stessa direzione della luce incidente), creando un forte riverbero, mentre una parte minore viene diffusa all’indietro.
Vedi Figura 2.

Figura 1 – Nuvole bianche !

Figura 2 – Diffusione di Rayleigh e diffusione di Mie

Questo spiega perché le nuvole siano tendenzialmente bianche e perché illuminando con i fari dell’auto la nebbia si crei un bagliore accecante (dovuto soprattutto alla componente retro-diffusa). Vedi Figura 3.
Spiega anche perché i camionisti, che hanno una posizione di guida almeno un paio di metri superiore al livello dei loro fari (e non circa mezzo metro o meno come nelle automobili), subiscano in modo minore questo effetto di retro-diffusione e quindi possano effettivamente vedere la strada nella nebbia meglio di un automobilista.Vedi Figura 4 (chiaramente sono esempi banali, solo evocativi dei diversi punti di vista).
Questa è anche la ragione per la quale i fari antinebbia siano sempre posizionati molto in basso, sia su auto sia su veicoli commerciali: per avere il maggior angolo possibile rispetto alla retro illuminazione della diffusione di Mie.

Figura 3 -Guida di un’auto nella nebbia che acceca la visuale

Figura 4 -Guida di un camion di notte

Tecnicamente,
la teoria di Mie fornisce una soluzione esatta alle equazioni di Maxwell per l’interazione di un’onda elettromagnetica piana con una sfera omogenea di materiale dielettrico. Non ha limiti superiori alle dimensioni del materiale di interazione (come nel caso della diffusione di Rayleigh).
Nella teoria di Mie, l’estinzione totale della luce (assorbimento + scattering) è definita dal coefficiente Qₑₓₜ.
Matematicamente, il campo elettrico diffuso è espresso come una serie infinita di coefficienti (chiamati aₙ e bₙ ), che rappresentano i contributi dei multipoli elettrici e magnetici:

dove Mₙ e Nₙ sono funzioni d’onda vettoriali sferiche. Più la particella è grande (nebbia), più termini della serie sono necessari per calcolare la diffusione corretta.

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Capire le misure : 4 – Ammassi di galassie e oltre

Esplorando oltre la nostra galassia, per poter raggiungere i confini dell’universo conosciuto con misure percepibili, è necessario cambiare nuovamente scala rispetto al post precedente sulla Via Lattea. Lì, le distanze in gioco diventano quasi impossibili da comprendere appieno, sono sconvolgenti!

Consideriamo ora la nostra galassia della misura di 1 millimetro. Facciamo parte di un gruppo ‘locale’ di galassie composto da oltre un centinaio di galassie più piccole (di cui solo una di dimensioni significative, la Galassia del Triangolo, nota come M33, vedi Figura 1), e da una grande galassia a spirale molto simile alla nostra, Andromeda (Figura 2), che si trova a circa 2,5 cm di distanza. Andromeda è l’oggetto cosmologico più distante visibile a occhio nudo (vedi anche il mio post Riferimenti per profani: angoli nel cielo).

Figure 1 – Galassia del Triangolo M33 (fonte: Nasa, Esa e M. Durbin, J. Dalcanton e B. F. Williams, University of Washington)

Figure 2 – Galassia di Andromeda (fonte: Westend61 via Getty Images)

Andromeda è più estesa ma meno massiccia della nostra galassia. Si sta avvicinando a noi (o meglio, ci stiamo avvicinando l’uno all’altro) a circa 400.000 km/h, sulla nostra nuova scala, meno di quattro millesimi di millimetro (circa un centesimo dello spessore di un capello) in un milione di anni. In altre parole, tra 4-5 miliardi di anni le due galassie si fonderanno, sempre senza collisioni tra le stelle (lo abbiamo dimostrato qui, §1, non per i neofiti), e probabilmente si trasformeranno in una galassia ellittica gigante (come NGC 1600 in Figura 3) dopo qualche altro miliardo di anni. Tuttavia, recenti misurazioni del satellite Gaia* riducono la probabilità che questa fusione avvenga su scale temporali così ‘brevi’, sebbene sia inevitabile che accada.

* Il satellite Gaia è una missione astrometrica dell’Agenzia Spaziale Europea (ESA), lanciata nel 2013 per mappare la Via Lattea in 3D. Orbita attorno al punto di Lagrange L2 (vedi il mio post Il problema dei tre corpi e i cinque punti lagrangiani) e ha creato il catalogo stellare più preciso di oltre 2 miliardi di stelle intorno a noi, misurandone posizione, moto, luminosità e composizione chimica.

Figura 3 – NGC 1600 ripresa dall’HST, ha un diametro di circa 120.000 anni luce, ovvero circa 1,2 mm sulla nostra scala (fonte: A. Quillen, University of Rochester, G. Bower, CSC/STScI, e G. Rieke, Steward Observatory/University of Arizona)

Il Gruppo Locale di galassie (vedi lo schema 3D in Figura 4) ha un raggio di circa 3 cm alla scala adottata ed è circondato in modo ‘omogeneo’ da strutture simili. Ad esempio, in Figura 5 si considera un raggio di 33 cm alla stessa scala e in Figura 6 un raggio di circa 1,5 m. Procedendo in modo analogo, si può raggiungere il limite dell’universo osservabile (cioè prima che il redshift impedisca completamente la rilevazione delle sorgenti) che, alla scala adottata, può essere considerato a una distanza di poco superiore ai 4 metri.

Figure 4 – Ammasso locale di galassie (fonte starwalk.space)

Figure 5 – Super ammasso della Vergine, con oltre 100 altri gruppi di alassie (fonte starwalk.space)

fonteFigure 6 – Il Superammasso Laniakea, che include almeno 100.000 galassie oltre alla nostra (fonte: starwalk.space)

Abbiamo raggiunto il limite della teoria corrente del Modello Cosmologico Standard. È una teoria basata sulla creazione dal nulla in un Big Bang iniziale che è fortemente supportata dalle osservazioni ma che ha anche importanti lacune nello spiegare altre evidenze osservative.

Episodi precedenti:
Capire le misure: 3 – Via Lattea
Capire le misure: 2 – Sistema solare
Capire le misure : 1 – Earth and Moon

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Capire le misure : 3 – Via Lattea

La Via Lattea è la nostra galassia: una struttura legata gravitazionalmente che include circa 100 miliardi di stelle e un’enorme quantità di gas (essenzialmente idrogeno atomico), con una forma approssimativa di un disco rotante, che, ovviamente, possiamo solo immaginare e non vedere realmente, dato che ci troviamo al suo interno (la nostra vista verso il centro galattico è nota, vedi Figura 1, anche se è sempre più difficile da osservare, a causa dell’inquinamento atmosferico, in particolare luminoso). Vedi Figura 2 per una foto di un esempio simile. Le stelle, il gas e la polvere che compongono il disco ruotano nel senso che orbitano attorno al nucleo centrale approssimativamente sferico (il bulge), che invece non ruota (le sue stelle hanno moti caotici).

Figure 1 – La Via Lattea vista dalla Terra (mia foto)

Figura 2 – Esempio di una galassia simile alla Via Lattea: NGC 6744, ripresa presso l’Osservatorio di La Silla dell’Osservatorio europeo australe in Cile (fonte: ESO)

Per comprendere le dimensioni, è necessario cambiare nuovamente scala rispetto al post precedente sul Sistema Solare: le quantità in gioco diventano sempre più difficili da ‘cogliere’. Abbiamo visto che la luce del Sole impiega circa 4 ore per raggiungere Nettuno, il pianeta più esterno del Sistema Solare. La stella più vicina a noi è Proxima Centauri (una nana rossa in un sistema stellare triplo), a circa 4 anni luce di distanza. Scegliamo quindi l’anno luce come unità di misura per questa nuova scala di distanza, immaginando 1 anno luce pari a 1 millimetro. Proxima Centauri si trova quindi a circa 4 mm dal Sole (naturalmente, poiché la differenza è di pochi minuti luce rispetto ai 4 anni luce, la Terra e il Sole attorno a cui orbita la Terra possono essere considerati essenzialmente alla stessa distanza).

Tutte queste stelle orbitano attorno al nucleo, ma hanno anche i loro moti indipendenti, che sono privi di collisioni (lo abbiamo dimostrato qui, §1, non per principianti), un fatto notevole dato il numero di corpi, e in contrasto, ad esempio, con un insieme di molecole di gas in un contenitore, che invece subiscono collisioni continue (che ne determinano la pressione e la temperatura). Ma rispetto a un gas, le distanze tra i componenti in una galassia sono immensamente maggiori.

Nella nuova scala che abbiamo adottato, il raggio del disco galattico è di circa 105 metri (circa 105.000 anni luce) e la nostra posizione è a circa 26 metri dal centro. Nella Figura 3, il disegno delinea schematicamente una possibile configurazione e le relative proporzioni. La nostra velocità lineare è di circa 790.000 km/h e completiamo un’orbita in circa 250 milioni di anni, quindi, sulla nostra scala, nonostante la velocità folle, ci spostiamo solo di circa 1,5 cm in mille anni, in questo disco di 105 metri di raggio. Da quando il Sole e la Terra si sono formati, circa 4,5 miliardi di anni fa, abbiamo compiuto circa 18 rivoluzioni attorno al nucleo galattico.

Figura 3 – disegno schematico della Via Lattea e delle sue proporzioni (i gas oltre il limite stellare non sono disegnati ma sono gravitazionalmente rilevanti; fonte: starwalk.space)

Il disco della nostra galassia è costituito da diversi bracci, dove la concentrazione di stelle è maggiore, e da una componente più rettilinea che ha origine dal nucleo centrale, da cui si diramano i bracci, come schematizzato nella Figura 3. Una galassia di questo tipo è chiamata ‘spirale barrata’ e la sua forma, vista di taglio, è simile all’esempio della Figura 4. In un prossimo post parleremo del buco nero centrale e delle regioni di formazione stellare.

Figura 4 – Esempio di una galassia a spirale vista di taglio, ESO 121-6 (fonte: HST di ESA/Hubble e NASA)

Come osservazione finale, si noti che quasi tutte le stelle visibili a occhio nudo appartengono al vicinato stellare locale del Sole, come evidenziato nella Figura 3. Si tratta di una regione minuscola rispetto alle dimensioni dell’intera Via Lattea. La maggior parte delle altre stelle della Galassia sono troppo deboli e/o troppo oscurate dalla polvere interstellare per essere viste individualmente, e contribuiscono invece al bagliore diffuso della Via Lattea: una miscela di milioni o miliardi di stelle irrisolte.

Prossimo episodio:
Capire le misure: 4 – Ammassi di galassie e oltre

Episodi precedenti:
Capire le misure: 2 – Sistema solare
Capire le misure : 1 – Earth and Moon

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Capire le misure : 2 – Sistema solare

Secondo episodio degli approfondimenti sulle misurazioni dell’universo che ci circonda. Il primo episodio riguardava la Terra e la Luna.
Questo episodio riguarda il Sistema Solare, ovvero i corpi celesti che orbitano attorno al Sole, la nostra stella.

I pianeti classificati come tali sono, in ordine crescente di raggio orbitale: Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove, Saturno, Urano, Nettuno (vedi Figura 1). Oltre a questi corpi principali, ce ne sono molti secondari, come pianeti nani, lune, asteroidi e comete, ma ci concentreremo solo sui principali.

Figure 1 -Disegno della sequenza dei pianeti del Sistema solare

Sin da Keplero (1571-1630) sappiamo che le orbite dei pianeti sono ellissi (vedi Figura 2), con il Sole situato in uno dei fuochi. In realtà, l’eccentricità (ovvero a – b con riferimento alla Figura 2) è piuttosto bassa, circa il 3% per la Terra e modesta per tutti i pianeti tranne Mercurio. Anche altri corpi celesti che orbitano nel Sistema Solare, come gli asteroidi (‘rocce’ più grandi che misurano poche centinaia di chilometri), mostrano un’eccentricità significativa (che misura quanto la loro orbita devia da una circonferenza). Per semplicità, considereremo le orbite circolari quindi con un singolo raggio.

Figura 2 – Un’ellisse è una curva piana che circonda due punti focali, tale che per tutti i punti sulla curva, la somma di entrambe le distanze dai due punti focali è una costante (FP + PF’ = costante per ogni P sulla curva); in questo esempio, l’eccentricità è molto grande, mentre per i pianeti è molto più piccola; i punti F sono chiamati fuochi, a è il semiasse maggiore, b è il semiasse minore.

Non elencheremo tutte le misure di questi oggetti, ma solo alcune di riferimento. È importante comprendere la necessità di cambiare la scala di riferimento, passando a una più grande: non possiamo più usare il pallone da calcio del post precedente. Ora immaginiamo la Terra come un minuscolo granello di sabbia fine (0,09 mm) e la sua distanza dal Sole come 1 metro (il raggio della sua orbita, solitamente chiamato unità astronomica, UA). Su questa scala, il pianeta più vicino al Sole è Mercurio (con un raggio 0,38 quello della Terra), a circa 38 cm. Marte (con un raggio 0,52 quello della Terra) orbita a circa 1,5 m; i giganti gassosi Giove (raggio 11 volte quello della Terra, ovvero 0,9 mm sulla scala adottata) a circa 5 m, e Saturno (raggio 9,5 volte quello della Terra) a circa 9,5 m. Urano e Nettuno sono molto lontani, rispettivamente a circa 19 m e 30 m. Vedere la Figura 3 per un diagramma in scala.

Figure 3 – Diagramma in scala delle distanze nel Sistema solare

Ma a cosa corrisponde questo metro di distanza, preso come riferimento per l’orbita terrestre? Circa 149 milioni di km, una distanza che un’auto a 100 km/h percorrerebbe in circa 170 anni. La luce, che viaggia a 300.000 km/s (oltre 1 miliardo di km/h), impiega circa 8 minuti per andare dal Sole alla Terra e più di 4 ore per raggiungere Nettuno.
E quanto è grande il Sole? Il suo raggio è di circa 670.000 km, quindi, rispetto alla Terra come modello di pallone da calcio, sarebbe una sfera con un raggio di 11,60 m, all’incirca il volume di un edificio di cinque piani di 400 metri quadrati per piano. Rispetto alla Terra come modello di granello di sabbia fine, il Sole sarebbe un “granello” di quasi 1 cm (9,3 mm).

La Terra ha una grande luna, la Luna; Marte ne ha due piccole, Fobos e Deimos. Giove ha quattro lune principali (Io, Europa, Ganimede, Callisto, scoperte nel 1609 da Galileo Galilei, 1564-1642) e 91 più piccole. Saturno ne ha ben 146 in totale! Praticamente tutte le lune sono in rotazione sincrona, il che significa che mostrano sempre la stessa faccia al loro pianeta, come la nostra Luna.

Gli anelli di Saturno (Figura 4), composti da innumerevoli particelle di ghiaccio e roccia, sono larghi più di 30.000 km (tre volte il diametro terrestre) ma estremamente sottili, con uno spessore che varia da poche decine a poche centinaia di metri. Per questo motivo, quando vengono visti di taglio (circa ogni 15 anni terrestri), non riflettono quasi per niente la luce solare e non sono visibili dalla Terra.

Figura 4 – Foto di Saturno scattata dall’HST (fonte: NASA, ESA, STScI, Amy Simon NASA-GSFC)

Oltre l’orbita di Nettuno, ovvero tra i 30 e i 50 metri sulla nostra scala, si trova la Fascia di Kuiper (dal nome di Gerrit Pieter Kuiper, 1905-1973), che contiene migliaia di corpi ghiacciati, resti della formazione del Sistema Solare, tra cui pianeti nani come Plutone, distribuiti essenzialmente in un volume schiacciato sul piano dell’eclittica. La cosiddetta eliosfera termina qui. Una regione ancora più esterna, la Nube di Oort (dal nome di Jan Oort, 1900-1992), tra i 2 e i 200 km sulla nostra scala, è stata ipotizzata contenere un’immensa diffusione di ghiaccio e rocce, il serbatoio da cui le comete vengono attirate dal Sole. Possiamo considerarla il confine esterno del Sistema Solare.

Prossimi episodi:
Capire le misure: 3 – Via Lattea
Capire le misure: 4 – Ammassi di galassie e oltre

Episodio precedente:
Capire le misure : 1 – Earth and Moon

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Capire le misure: 1 – Terra e Luna

Nella vita di tutti i giorni, non ci soffermiamo a pensare alle ‘dimensioni’ del pianeta in cui viviamo, il Sistema Solare, e della galassia (Via Lattea) in cui orbitiamo con la nostra astronave madre, la Terra.
In una serie di approfondimenti, cerchiamo di comprendere le distanze e alcuni parametri che caratterizzano questi sistemi. Il primo riguarda la Terra e il suo satellite, la Luna (Figura 1).

Figura 1 – la Terra e la Luna

Il raggio medio della Terra (leggermente più piccolo ai poli che all’equatore) è di circa 6.370 km, il che significa che la sua circonferenza è di circa 40.000 km. Pertanto, un segnale elettromagnetico che viaggia a 300.000 km/s fa il giro del pianeta 7,5 volte in un secondo.

Ecco alcune misurazioni interessanti da confrontare:

– Lo spessore della troposfera, dove si verificano praticamente tutti i fenomeni meteorologici e dove si concentra quasi tutto il vapore acqueo, varia da circa 8 km (ai poli) a circa 20 km (all’equatore), ovvero in media 14 km. Ciò significa che se la Terra avesse le dimensioni di un pallone da calcio (raggio di circa 11 cm), la troposfera avrebbe all’incirca lo spessore di due fogli di carta (circa 0,24 mm).

– La montagna più alta (Everest, circa 8,8 km) e l’oceano più profondo (Fossa delle Marianne, circa 10,9 km) sono dello stesso ordine di grandezza dell’altezza della troposfera. Come a dire che tenendo quel pallone da calcio in mano non si noterebbe quasi la loro presenza.

– La Luna, che ha un raggio di 1.737 km, sarebbe leggermente più piccola di una pallina da tennis (raggio di circa 3 cm) rispetto alla Terra, grande quanto un pallone da calcio, vedi Figura 2. La sua distanza media dalla Terra è di circa 380.000 km, quindi un segnale elettromagnetico impiega circa 1,3 secondi per arrivare; nelle proporzioni calcolate per le palline, la distanza tra loro sarebbe di circa 6,5 metri.

Figura 2 – Pallone da calcio e palla da tennis nelle proporzioni della Terra e della Luna

– L’altitudine a cui volano gli aerei di linea, circa 10 km, è poco più spessa di un foglio di carta. Visti dallo spazio, sembrano più strisciare che volare. La Stazione Spaziale Internazionale (ISS) è mantenuta a un’altitudine di circa 400 km, circa 7 mm sopra il pallone da calcio, a una velocità di circa 28.000 km/h, ovvero si sposterebbe di circa 8 mm al minuto.

– Considerando la rotazione terrestre in 24 ore, la velocità tangenziale di un punto all’equatore è di quasi 1.700 km/h; alle nostre latitudini, di circa 45°, la velocità è di poco inferiore a 1.200 km/h. Per questo motivo, le rampe di lancio delle sonde spaziali sono posizionate a basse latitudini, vicino all’equatore, per sfruttare la maggiore velocità lineare. La velocità di fuga necessaria per vincere l’attrazione gravitazionale (circa 40.000 km/h sulla Terra) è più facilmente raggiungibile sfruttando la velocità del punto di lancio (con una direzione di partenza verso est per ottenere il massimo effetto, considerando che la Terra ruota verso est e le velocità possono sommarsi).
Si noti che la velocità di fuga non è legata alla direzione ‘verso l’alto’; è la velocità minima a una data altitudine per essere svincolati dal legame gravitazionale, in qualsiasi direzione, purché non si entri in collisione con il pianeta.

Prossimi episodi:
Capire le misure: 2 – Sistema solare
Capire le misure: 3 – Via Lattea
Capire le misure: 4 – Ammassi di galassie e oltre

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Quanto vuota è la materia?

Molto vuota.
Estremamente vuota.

Consideriamo i costituenti elementari, gli atomi, che solitamente si aggregano in molecole per formare la materia che conosciamo. Sono costituiti da un nucleo che rappresenta quasi l’intera massa, sotto forma di protoni (carichi positivamente) e neutroni, con massa quasi uguale a quella dei protoni ma privi di carica, e da elettroni molto leggeri (1/2000 della massa del protone) carichi negativamente che ‘orbitano’ attorno al nucleo. In condizioni normali, le cariche elettriche dei protoni e degli elettroni dell’atomo ‘neutro’ si bilanciano a vicenda. Tutte le aggregazioni tra atomi avvengono grazie alle forze di attrazione tra cariche diverse (mentre, come sappiamo, cariche uguali si respingono, come nel caso delle forze magnetiche). Nel nucleo, i protoni, pur avendo la stessa carica positiva e respingendosi, sono tenuti insieme da una forza estremamente intensa detta forza nucleare forte.

Figure 1 – Esempio di uno schema molto impreciso di un atomo (fonte: freepic.com)

La Figura 1 è un tipico esempio di rappresentazione errata di un atomo, per molte ragioni, ma due sono fondamentali: le particelle non sono ‘palle’ ma densità di probabilità, ovvero ‘nuvole allungate’ anziché ‘palle’; le proporzioni sono mostruosamente fuorvianti. Questo ci porta all’argomento di questo post. Consideriamo l’atomo più piccolo e semplice, l’atomo di idrogeno neutro H (composto da 1 protone e 1 elettrone), e l’atomo di ferro neutro Fe (l’isotopo più comune è composto da 26 protoni, 30 neutroni e 26 elettroni). La massa di Fe è quindi circa 56 volte quella di H. Per le misurazioni atomiche, utilizziamo gli angstrom (Å, dal nome del fisico svedese Anders Jonas Ångström, 1814-1874), pari a un decimo di miliardesimo di metro (10¯¹º m). Consideriamo anche solo i nuclei e la distanza minima degli elettroni dal nucleo, ovvero il raggio della loro orbita più interna (quindi la ‘dimensione’ dell’intero atomo è molto maggiore). Alcune misurazioni effettive di queste particelle sono approssimativamente le seguenti:

Atom	Nucleus	Min distance electrons	Δ
H	1,7 · 10^-5 Å (0,000017 Å)	0,5 Å	~2.9 · 10⁴
Fe	5 · 10^-5 Å (0,00005 Å)	1,25 Å	~2.5 · 10⁴

Quindi tra il nucleo e l’orbita più interna degli elettroni ci sono circa quattro ordini di grandezza! Questo è spazio vuoto. Ovviamente, ci sono campi elettrici che tengono insieme tutto, ma non ci sono particelle massicce, legate o meno, in quello spazio, e non possono essercene in nessun atomo, in normali condizioni della materia.

Quattro ordini di grandezza significa che se il nucleo di Fe avesse le dimensioni di una prugna (5 cm), ci sarebbe spazio vuoto fino a 1250 metri di distanza. Per H, se il nucleo avesse le dimensioni di un acino d’uva (17 mm), ci sarebbe spazio vuoto fino a 500 metri di distanza.

Ciò che permette alla materia di legarsi allo stato solido sono le forze di legame elettrico tra gli atomi, dovute alla presenza/assenza di elettroni nei gusci atomici più esterni, ma questa è un’altra storia.
Questi spazi vuoti si comprimono solo in condizioni estreme, ad esempio quando la materia degenera in stelle che si trasformano in nane bianche o stelle di neutroni (quando la forza di radiazione verso l’esterno cessa e la gravità comprime la stella), raggiungendo densità inimmaginabili (un acino d’uva avrebbe una massa di miliardi di tonnellate). Ma anche questa è un’altra storia.

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Il problema dei tre corpi e i cinque punti lagrangiani

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) fu un grande matematico del XVIII secolo. I suoi principali studi di meccanica lo portarono ad affrontare il problema gravitazionale dei tre corpi, che tuttavia rimane ancora oggi irrisolto perché il sistema è intrinsecamente caotico e imprevedibile a lungo termine, poiché piccole variazioni iniziali causano risultati drasticamente diversi.
Lagrange trovò le soluzioni di equilibrio (i cinque punti lagrangiani, vedi figura tratta dal sito web dell’ESA) per il sistema nel caso semplificato ma estremamente interessante in cui il terzo corpo abbia massa trascurabile rispetto agli altri due (ad esempio, il Sole, un pianeta e un asteroide o un satellite artificiale). I primi tre punti (L1, L2, L3) erano già stati trovati da Leonhard Euler (1707-1783), un altro grande matematico del XVIII secolo, mentre Lagrange trovò i cosiddetti punti “triangolari” (L4, L5), perché formano triangoli equilateri perfetti con i due corpi principali.
Per i dettagli su questi punti, si può fare riferimento alle semplici spiegazioni su
Sito web dell’ESA (Agenzia spaziale europea).

Ovviamente, Lagrange non avrebbe mai potuto conoscere le prove a sostegno della sua congettura (fu solo nel 1906 che gli astronomi confermarono la sua teoria scoprendo asteroidi troiani catturati nei punti L4 e L5 dell’orbita di Giove) o la sua attuale utilità nel posizionamento dei nostri veicoli di esplorazione spaziale.
Grazie alla loro “stabilità gravitazionale”, che consente di risparmiare energia di posizionamento (e nel caso di L2 fornisce anche una schermatura parziale dal Sole), è ipotizzabile che, nel futuro dell’esplorazione spaziale, basi avanzate per l’esplorazione dello spazio profondo saranno situate nei punti lagrangiani.

I 5 punti lagrangiani, dal sito dell’ESA (Ente Spaziale Europeo); le orbite dei punti L1 e L2 non sono in scala, la loro distanza dalla Terra è circa 1/100 del raggio dell’orbita terrestre

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Perché le stelle scintillano di notte e i pianeti no?

Questo fatto, noto da millenni, permette anche al profano di distinguere immediatamente nel cielo notturno uno dei pianeti del Sistema Solare (Venere, Marte, Giove, Saturno) dalle stelle a occhio nudo.
Queste sorgenti luminose, osservate dalla superficie terrestre, mostrano due principali comportamenti caratteristici dovuti alla stessa causa, la turbolenza atmosferica:
– leggere oscillazioni di posizione (apprezzabili con un buon binocolo o un piccolo telescopio)
– scintillio di intensità (tipicamente solo stelle).
Altri effetti, soprattutto quando la sorgente è vicina all’orizzonte, sono: scintillio cromatico (cambiamenti di colore), estinzione atmosferica (diminuzione della luminosità), arrossamento e scintillio dei pianeti.
La turbolenza atmosferica a bassa quota (le prime decine o centinaia di metri) è responsabile delle oscillazioni posizionali, insieme alla turbolenza a media quota (6-8 km) dove si mescolano celle d’aria di diverse temperature e densità, mentre la turbolenza vicino alla tropopausa (8-12 km) associata alle correnti a getto è responsabile della scintillazione.

Sono le dimensioni ottiche delle sorgenti a fare la differenza nella scintillazione, in base alla loro interazione con le celle di turbolenza, che variano anch’esse in dimensioni. Le correnti a getto determinano celle di grandi dimensioni, che vanno da decine a centinaia di metri, ma la turbolenza segue il modello a cascata di Kolmogorov (vedi Figura 1), dissipando l’energia cinetica iniziale in vortici sempre più piccoli, fino all’ordine di centimetri o millimetri, che alla fine si trasformano in calore. Sono proprio queste microcelle a deviare la luce puntiforme proveniente dalle sorgenti stellari, ma hanno un effetto mediato nel caso di sorgenti otticamente più grandi come i pianeti, che coinvolgono più celle. L’effetto finale è la stabilizzazione della luce della sorgente, che quindi appare non scintillante.

Figura 1 – Uno schizzo illustrativo della trasformazione della turbolenza secondo il modello a cascata di Kolmogorov

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Il segno di uguale “=”

Alcune considerazioni per i veri principianti.

Il segno di uguale “=” è un simbolo matematico (coniato dal matematico gallese Robert Recorde nel 1557) formato da due linee orizzontali parallele, usato per indicare che due espressioni hanno lo stesso valore o sono identiche.
Viene insegnato fin dai primi anni della scuola elementare, ma non credo che la forza del suo significato profondo venga spiegata a sufficienza. Almeno, questo è ciò che possiamo vedere dalle difficoltà incontrate dagli studenti un po’ più grandi.

Uguale significa esattamente uguale. Ciò che si trova a sinistra del segno “=” ha lo stesso valore di ciò che si trova a destra. Quindi, se c’è un simbolo a sinistra e un numero a destra, in quel contesto quel simbolo vale esattamente la quantità indicata. E se due simboli sono uguali, possono essere usati in modo intercambiabile. Banale, ma fonte di grandi dubbi per chi non ha afferrato appieno il concetto di base.

Da un punto di vista formale, il segno di uguale soddisfa le seguenti condizioni:
– Proprietà riflessiva: Ogni valore è uguale a se stesso, a = a
– Proprietà simmetrica: se a = b allora b = a (l’ordine delle espressioni può essere scambiato senza cambiare la verità)
– Proprietà transitiva: se a = b e b = c allora a = c
– Proprietà di sostituzione: informalmente, questo significa semplicemente che se a = b , allora a può sostituire b in qualsiasi espressione o formula matematica senza cambiarne il significato; formalmente, per ogni a e b , e qualsiasi formula ϕ(x) con una variabile libera x , se a = b , allora ϕ(a) implica ϕ(b) ; possiamo chiamare questa un’applicazione di funzione.

Anche senza entrare in ulteriori dettagli, queste semplici proprietà ci permettono, ad esempio, di risolvere direttamente equazioni di primo grado. Ci permettono di invertire le formule semplicemente aggiungendo o moltiplicando la stessa quantità su entrambi i lati dell’equazione. Ok, facendo attenzione a non dividere per zero.
Se le quantità incognite (le cosiddette variabili) sono di grado superiore, le cose si complicano, ma l’efficacia di “=” rimane la stessa.
Un piccolo trucco efficace basato su questo è quello di utilizzare nuove variabili per sostituire espressioni più complesse o con potenze superiori.

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Riferimenti per i profani: un esperimento per verificare la legge della caduta dei gravi

Le prime misurazioni osservative sulla legge di caduta dei gravi furono effettuate da Galileo Galilei (1564-1642).
La famosa legge, considerando la distanza d percorsa durante la caduta, è:
[1] d = g t² / 2
dove g è una costante che rappresenta l’accelerazione gravitazionale locale (sulla Terra il valore medio è g = 9,8 m/s² ) e t è il tempo trascorso. In termini più facilmente osservabili, il tempo di caduta può essere misurato invertendo la relazione [1]:
[2] t = √(2d/g) .
Galileo predisse (ispirandosi a quanto Domingo de Soto aveva già concepito nel 1551) che tutti i corpi seguono questa legge indipendentemente dalla loro massa, studiando le sfere che rotolano (piuttosto che lasciarle cadere dalla famosa Torre di Pisa). Tuttavia, l’esperienza quotidiana ci dice che i corpi leggeri cadono più lentamente: ciò è semplicemente dovuto all’attrito del fluido in cui sono immersi (ad esempio, l’aria).

Si racconta che sulla Luna sia stato condotto un esperimento piuttosto costoso, in cui un martello e una piuma vennero lasciati cadere e toccarono terra contemporaneamente (astronauta David Scott il 2 agosto 1971).
Propongo il seguente esperimento più economico: lasciate cadere, piatta, di faccia, una moneta non troppo piccola, ad esempio una moneta da 2 euro, appoggiandoci sopra un piccolo pezzo di carta, ad esempio di 5 mm di diametro. Un’altezza ottimale potrebbe essere mezzo metro. Potete osservare che il pezzo di carta tocca terra contemporaneamente alla moneta, che impedisce all’aria di rallentarlo.
Potreste anche mettere il pezzo di carta in un contenitore trasparente e poi lasciarlo cadere, ma questa osservazione sarebbe meno evidente.

Come nota a margine, si può osservare che un corpo in caduta libera accelera fino a quando questa accelerazione eguaglia l’accelerazione di gravità, a causa della massa del corpo (tipicamente la Terra) su cui sta cadendo (eventualmente rallentata dalla resistenza dell’aria, nota come forza di resistenza aerodinamica). Una volta raggiunto questo valore, la velocità di caduta, nota come velocità terminale, rimane costante. Al contrario, un corpo che cade nel vuoto non raggiunge mai la velocità terminale perché non c’è resistenza; accelera indefinitamente finché cade.

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