La regola della catena nelle equazioni differenziali è un piccolo ma potente trucco spesso utilizzato per derivare funzioni composte calcolando la derivata della funzione esterna mantenendo invariata la funzione interna.
Ad esempio, l’espressione dy/dx può essere riscritta come:
[1] dy/dx = dy/du * du/dx .
In questo modo possiamo ottenere una derivata rispetto a una variabile che è più utile, ad esempio perché ne conosciamo il valore (magari in un’espressione formale più semplice, oppure già noto), oppure è più facile da integrare.
In termini semplici, ciò significa trasformare il tasso di variazione di x rispetto a y nel prodotto del tasso di variazione di u rispetto a y per il tasso di variazione di x rispetto a u.
Per quanto riguarda le regole per la derivazione delle funzioni, la regola della catena porta alla dimostrazione che se F(x) = f(g(x)), la sua derivata è:
[2] F'(x) = f'(g(x) * g'(x) .
Ma mentre questa regola per derivare le funzioni viene usata quotidianamente senza pensarci, la regola della catena può essere un utile trucco per risolvere molti problemi di fisica quando non conosciamo il tasso di variazione diretto tra due variabili.
Un semplice esempio del suo utilizzo in astrofisica è lo studio della formazione stellare e della massa di Jeans (la soglia critica necessaria affinché una nube di gas e polvere interstellare collassi sotto la propria gravità e formi stelle). La regola della catena viene utilizzata per convertire l’accelerazione in una forma che dipende dalla posizione piuttosto che dal tempo, rendendo l’equazione differenziale integrabile. In termini formali, come in [1], possiamo scrivere:
[3] d²R/dt² = dv/dt = dv/dR * dR/dt = v * dv/dR ,
dove v = dR/dt .
In questo caso, questa sostituzione ci permette di integrare l’equazione del moto rispetto al raggio R per determinare il tempo di caduta libera di una nube di gas in collasso (si omette il calcolo, fuori argomento).
Collapsing gas cloud (fonte accademiadellestelle.org)
