{"id":1194,"date":"2026-01-24T07:28:17","date_gmt":"2026-01-24T06:28:17","guid":{"rendered":"https:\/\/andreabrussi.it\/una-semplice-nota-sulla-regola-della-catena-nelle-equazioni-differenziali\/"},"modified":"2026-08-11T08:44:26","modified_gmt":"2026-08-11T07:44:26","slug":"una-semplice-nota-sulla-regola-della-catena-nelle-equazioni-differenziali","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/andreabrussi.it\/it\/una-semplice-nota-sulla-regola-della-catena-nelle-equazioni-differenziali\/","title":{"rendered":"Una semplice nota sulla <em>regola della catena<\/em> nelle equazioni differenziali"},"content":{"rendered":"<p>La <em>regola della catena<\/em> nelle equazioni differenziali \u00e8 un piccolo ma potente trucco spesso utilizzato per derivare funzioni composte calcolando la derivata della funzione esterna mantenendo invariata la funzione interna.<br \/>\nAd esempio, l&#8217;espressione dy\/dx pu\u00f2 essere riscritta come:<br \/>\n[1] <em>dy\/dx = dy\/du * du\/dx <\/em>.<br \/>\nIn questo modo possiamo ottenere una derivata rispetto a una variabile che \u00e8 pi\u00f9 utile, ad esempio perch\u00e9 ne conosciamo il valore (magari in un&#8217;espressione formale pi\u00f9 semplice, oppure gi\u00e0 noto), oppure \u00e8 pi\u00f9 facile da integrare.<br \/>\nIn termini semplici, ci\u00f2 significa trasformare il tasso di variazione di <em>x <\/em> rispetto a y nel prodotto del tasso di variazione di <em>u<\/em> rispetto a <em>y<\/em> per il tasso di variazione di <em>x<\/em> rispetto a <em>u<\/em>.<br \/>\nPer quanto riguarda le regole per la derivazione delle funzioni, la <em>regola della catena<\/em> porta alla dimostrazione che se <em>F(x) = f(g(x))<\/em>, la sua derivata \u00e8:<br \/>\n[2] <em>F'(x) = f'(g(x) * g'(x)<\/em> .<\/p>\n<p>Ma mentre questa regola per derivare le funzioni viene usata quotidianamente senza pensarci, la <em>regola della catena<\/em> pu\u00f2 essere un utile trucco per risolvere molti problemi di fisica quando non conosciamo il tasso di variazione diretto tra due variabili.<br \/>\nUn semplice esempio del suo utilizzo in astrofisica \u00e8 lo studio della formazione stellare e della <em>massa di Jeans<\/em> (la soglia critica necessaria affinch\u00e9 una nube di gas e polvere interstellare collassi sotto la propria gravit\u00e0 e formi stelle). La <em>regola della catena<\/em> viene utilizzata per convertire l&#8217;accelerazione in una forma che dipende dalla posizione piuttosto che dal tempo, rendendo l&#8217;equazione differenziale integrabile. In termini formali, come in [1], possiamo scrivere:<br \/>\n[3] <em>d\u00b2R\/dt\u00b2 = dv\/dt = dv\/dR * dR\/dt = v * dv\/dR<\/em> ,<br \/>\ndove <em>v = dR\/dt<\/em> .<br \/>\nIn questo caso, questa sostituzione ci permette di integrare l&#8217;equazione del moto rispetto al raggio <em>R<\/em> per determinare il tempo di caduta libera di una nube di gas in collasso (si omette il calcolo, fuori argomento).  <\/p>\n<hr>\n<p><a href=\"https:\/\/andreabrussi.it\/wp-content\/uploads\/collapsing-gas-cloud.jpg\" rel=\"lightbox[1194]\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-3204\" src=\"https:\/\/andreabrussi.it\/wp-content\/uploads\/collapsing-gas-cloud-300x227.jpg\" alt=\"collapsing gas cloud\" width=\"300\" height=\"227\" srcset=\"https:\/\/andreabrussi.it\/wp-content\/uploads\/collapsing-gas-cloud-300x227.jpg 300w, https:\/\/andreabrussi.it\/wp-content\/uploads\/collapsing-gas-cloud.jpg 562w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 85vw, 300px\" \/><br \/>\nCollapsing gas cloud (fonte accademiadellestelle.org)<\/a><\/p>\n<div style='text-align:right' class='yasr-auto-insert-visitor'><!--Yasr Visitor Votes Shortcode--><div id='yasr_visitor_votes_5ac53a6c0a2c6' class='yasr-visitor-votes'><div class=\"yasr-custom-text-vv-before yasr-custom-text-vv-before-729\">please, rate this post<\/div><div id='yasr-vv-second-row-container-5ac53a6c0a2c6'\r\n                                        class='yasr-vv-second-row-container'><div id='yasr-visitor-votes-rater-5ac53a6c0a2c6'\r\n                                      class='yasr-rater-stars-vv'\r\n                                      data-rater-postid='729'\r\n                                      data-rating='5'\r\n                                      data-rater-starsize='16'\r\n                                      data-rater-readonly='false'\r\n                                      data-rater-nonce='4bc8a13a69'\r\n                                      data-issingular='false'\r\n                                    ><\/div><div class=\"yasr-vv-stats-text-container\" id=\"yasr-vv-stats-text-container-5ac53a6c0a2c6\"><svg xmlns=\"https:\/\/www.w3.org\/2000\/svg\" width=\"20\" height=\"20\"\r\n                                   class=\"yasr-dashicons-visitor-stats\"\r\n                                   data-postid=\"729\"\r\n                                   id=\"yasr-stats-dashicon-5ac53a6c0a2c6\">\r\n                                   <path d=\"M18 18v-16h-4v16h4zM12 18v-11h-4v11h4zM6 18v-8h-4v8h4z\"><\/path>\r\n                               <\/svg><span id=\"yasr-vv-text-container-5ac53a6c0a2c6\" class=\"yasr-vv-text-container\"><\/span><\/div><div id='yasr-vv-loader-5ac53a6c0a2c6' class='yasr-vv-container-loader'><\/div><\/div><div id='yasr-vv-bottom-container-5ac53a6c0a2c6'\r\n                              class='yasr-vv-bottom-container'\r\n                              style='display:none'><\/div><\/div><!--End Yasr Visitor Votes Shortcode--><\/div>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>La regola della catena nelle equazioni differenziali \u00e8 un piccolo ma potente trucco spesso utilizzato per derivare funzioni composte calcolando la derivata della funzione esterna mantenendo invariata la funzione interna. Ad esempio, l&#8217;espressione dy\/dx pu\u00f2 essere riscritta come: [1] dy\/dx = dy\/du * du\/dx . In questo modo possiamo ottenere una derivata rispetto a una &hellip; <a href=\"https:\/\/andreabrussi.it\/it\/una-semplice-nota-sulla-regola-della-catena-nelle-equazioni-differenziali\/\" class=\"more-link\">Leggi tutto<span class=\"screen-reader-text\"> &#8220;Una semplice nota sulla <em>regola della catena<\/em> nelle equazioni differenziali&#8221;<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"yasr_overall_rating":0,"yasr_post_is_review":"","yasr_auto_insert_disabled":"","yasr_review_type":"","footnotes":""},"categories":[57],"tags":[68,64],"class_list":["post-1194","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica","tag-contributi-personali","tag-per-profani"],"acf":[],"yasr_visitor_votes":{"stars_attributes":{"read_only":false,"span_bottom":false},"number_of_votes":0,"sum_votes":0},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/andreabrussi.it\/it\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1194","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/andreabrussi.it\/it\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/andreabrussi.it\/it\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/andreabrussi.it\/it\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/andreabrussi.it\/it\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1194"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/andreabrussi.it\/it\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1194\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3208,"href":"https:\/\/andreabrussi.it\/it\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/1194\/revisions\/3208"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/andreabrussi.it\/it\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1194"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/andreabrussi.it\/it\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=1194"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/andreabrussi.it\/it\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=1194"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}